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【题目】如图①,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.

(1)请你判断并写出FE与FD之间的数量关系(不需证明);

(2)如图②,如果∠ACB不是直角,其他条件不变,那么在(1)中所得的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

【答案】(1)FE=FD (2)答案见解析

【解析】

(1)先在AC上截取AG=AE,连结FG,利用SAS判定AEF≌△AGF,得出∠AFE=AFG,FE=FG,再利用ASA判定CFG≌△CFD,得到FG=FD,进而得出FE=FD;

(2)先过点F分别作FGAB于点G,FHBC于点H,则∠FGE=FHD=90°,根据已知条件得到∠GEF=HDF,进而判定EGF≌△DHF(AAS),即可得出FE=FD.也可以过点FFGABG,作FHBCH,作FKACK,再判定EFG≌△DFH(ASA),进而得出FE=FD.

(1)FEFD之间的数量关系为:FE=FD.

理由:如图,在AC上截取AG=AE,连结FG,

AD是∠BAC的平分线,

∴∠1=2,

AEFAGF

∴△AEF≌△AGF(SAS),

∴∠AFE=AFG,FE=FG,

∵∠B=60°,AD,CE分别是∠BAC,BCA的平分线,

22+23+B=180°

∴∠2+3=60°

又∵∠AFEAFC的外角,

∴∠AFE=CFD=AFG=2+3=60°

∴∠CFG=180°-60°-60°=60°

∴∠GFC=DFC,

CFGCFD中,

∴△CFG≌△CFD(ASA),

FG=FD,

FE=FD;

(2)结论FE=FD仍然成立.

如图,过点F分别作FGAB于点G,FHBC于点H,则∠FGE=FHD=90°

∵∠B=60°,且AD,CE分别是∠BAC,BCA的平分线,

∴∠2+3=60°,FABC的内心,

∴∠GEF=BAC+3=1+2+3=60°+1,

FABC的内心,即F在∠ABC的角平分线上,

FG=FH,

又∵∠HDF=B+1=60°+1,

∴∠GEF=HDF,

EGFDHF中,

∴△EGF≌△DHF(AAS),

FE=FD.

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1)以上成绩统计分析表中a=______分,b=______分,c=_______分;

组别

平均数

中位数

方差

合格率

优秀率

甲组

68

a

376

30%

乙组

b

c

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