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【题目】问题背景:如图1:在四边形ABCD,AB=AD,BAD=120 ,B=ADC=90°.EF分别是 BC,CD 上的点。且∠EAF=60° . 探究图中线段BEEFFD 之间的数量关系。 小王同学探究此问题的方法是,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连结 AG,先证明ABE≌△ADG, 再证明AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是_________

探索延伸:如图2,若四边形ABCD,AB=AD,B+D=180° .E,F 分别是 BC,CD 上的点,且∠EAF=BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;

实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°A,舰艇乙在指挥中心南偏东 70°B,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以55 海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 75 海里/小时的速度前进2小时后, 指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E,F ,且两舰艇之间的夹角为70° ,试求此时两舰 艇之间的距离。

【答案】问题背景:EF=BE+DF,理由见解析;探索延伸:结论仍然成立,理由见解析;实际应用:210海里.

【解析】

问题背景:延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题;

探索延伸:延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题;

实际应用:连接EF,延长AEBF相交于点C,然后与(2)同理可证.

问题背景:EF=BE+DF,证明如下:

在△ABE和△ADG中,

∴△ABE≌△ADGSAS),

AE=AG,∠BAE=DAG

∵∠EAF=BAD

∴∠GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BAD-EAF=EAF

∴∠EAF=GAF

在△AEF和△GAF中,

∴△AEF≌△AGFSAS),

EF=FG

FG=DG+DF=BE+DF

EF=BE+DF

故答案为: EF=BE+DF

探索延伸:结论EF=BE+DF仍然成立,

理由:延长FD到点G.使DG=BE,连结AG,如图2

在△ABE和△ADG中,

∴△ABE≌△ADGSAS),

AE=AG,∠BAE=DAG

∵∠EAF=BAD

∴∠GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BAD-EAF=EAF

∴∠EAF=GAF

在△AEF和△GAF中,

∴△AEF≌△AGFSAS),

EF=FG

FG=DG+DF=BE+DF

EF=BE+DF

实际应用:如图3,连接EF,延长AEBF相交于点C

∵∠AOB=30°+90°+90°-70°)=140°,∠EOF=70°,

∴∠EOF=AOB

又∵OA=OB,∠OAC+OBC=90°-30°)+70°+50°)=180°,

∴符合探索延伸中的条件,

∴结论EF=AE+BF成立,

EF=2×(45+60=210(海里),

答:此时两舰艇之间的距离是210海里.

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