【题目】问题背景:如图1:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120 ,∠B=∠ADC=90°.E、F分别是 BC,CD 上的点。且∠EAF=60° . 探究图中线段BE,EF,FD 之间的数量关系。 小王同学探究此问题的方法是,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连结 AG,先证明△ABE≌△ADG, 再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是_________;
探索延伸:如图2,若四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180° .E,F 分别是 BC,CD 上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由;
实际应用:如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东 70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以55 海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 75 海里/小时的速度前进2小时后, 指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E,F 处,且两舰艇之间的夹角为70° ,试求此时两舰 艇之间的距离。
【答案】问题背景:EF=BE+DF,理由见解析;探索延伸:结论仍然成立,理由见解析;实际应用:210海里.
【解析】
问题背景:延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题;
探索延伸:延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明△ABE≌△ADG,可得AE=AG,再证明△AEF≌△AGF,可得EF=FG,即可解题;
实际应用:连接EF,延长AE、BF相交于点C,然后与(2)同理可证.
问题背景:EF=BE+DF,证明如下:
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF,
故答案为: EF=BE+DF;
探索延伸:结论EF=BE+DF仍然成立,
理由:延长FD到点G.使DG=BE,连结AG,如图2,
在△ABE和△ADG中,,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;
实际应用:如图3,连接EF,延长AE、BF相交于点C,
∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,∠EOF=70°,
∴∠EOF=∠AOB,
又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,
∴符合探索延伸中的条件,
∴结论EF=AE+BF成立,
即EF=2×(45+60)=210(海里),
答:此时两舰艇之间的距离是210海里.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB-BC-CD-DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP和△DCE全等时,t的值____.
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【题目】如图,把长方形纸片ABCD沿对角线折叠,设重叠部分为△EBD,那么,有下列说法:①△EBA和△EDC一定是全等三角形;②△EBD是等腰三角形,EB=ED;③折叠后得到的图形是轴对称图形;④折叠后∠ABE和∠CBD一定相等;其中正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】如图,点A、D、C、F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)求证:ΔABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.
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【题目】如图,∠A=∠B=90°,AB=7,AD=2,BC=3,如果边AB上的点P使得以P,A,D为顶点的三角形和以P,B,C为顶点的三角形相似,则这样的P点共有几个( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图①,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.
(1)请你判断并写出FE与FD之间的数量关系(不需证明);
(2)如图②,如果∠ACB不是直角,其他条件不变,那么在(1)中所得的结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 中位数就是一组数据中最中间的一个数
B. 这组数据的众数是9
C. 如果的平均数是1,那么
D. 一组数据的方差是这组数据的极差的平方
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