Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE=7，EC=3，把线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点P处，则CP的长为_____．

Answer 1

【答案】3或17．

【解析】

分类讨论：当点P 落在边BC上时，如图，利用正方形的性质得AB=AD=DE+CE=10，∠ABF=∠D=90°，利用旋转的性质得AP=AE，则可证明Rt△ABP≌Rt△ADE，所以BP =DE=7，于是得到CP=BC-BP=3；当点P落在BC的延长线上的点P′时，如图，同样可证明Rt△ABP′≌Rt△ADE，得到BP′=DE=7，则CP′=BC+BP′=17，于是可判断P、C两点的距离为3或17．

当点P落在边BC上时，如图，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD=DE+CE=3+2=5，∠ABP=∠D=90°，

∵线段AE绕点A旋转后使点E落在直线BC上的点F处，

∴AF=AE，

在Rt△ABP和Rt△ADE中：AP=AE，AB=AD，

∴Rt△ABP≌Rt△ADE，

∴BP=DE=7，

∴CP=BC-BP=10-7=3；

当点F落在BC的延长线上的点P′时，如图，

同样可证明Rt△ABP′≌Rt△ADE，

∴BP′=DE=7，

∴CP′=BC+BP′=10+7=17，

∴P、C两点的距离为3或17．

故答案为：3或17