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【题目】如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线,将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH,HGAB于点E,连接DEAC于点F,连接FG.则下列结论:

①四边形AEGF是菱形;②△HED的面积是1﹣③∠AFG=112.5°;BC+FG=.其中正确的结论是(  )

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④

【答案】B

【解析】

∵四边形ABCD是正方形,

∴AD=DC=BC=AB,∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°,∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°,

∵△DHG是由△DBC旋转得到,

∴DG=DC=AD,∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°,

Rt△ADERt△GDE中,DE=DE,DA=DG,

∴△AED≌△GED,

∴∠ADE=∠EDG=22.5°,AE=EG,

∴∠AED=∠AFE=67.5°,

∴AE=AF,同理EG=GF,

∴AE=EG=GF=FA,

∴四边形AEGF是菱形,①正确,

∴∠AFG=67.5°×2=135°,③错误

根据题意可求得BD=,BG=BD-DG=BD-CD=-1,

在等腰直角三角形EGB中,可求得BE=2-,即可求AE=AB-BE=1-(2-)=-1,

所以AH=AE=-1,即可得△HED的面积是 ,②正确;

由(1)的证明过程可得GF=FA,∠CFD=∠CDF=67.5°,所以CD=CF,即可得AC=CF+AF=CD+FG=,④正确

综上,正确的结论为①②④.

故选B.

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1

2

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4

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