【题目】如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线,将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG.则下列结论:
①四边形AEGF是菱形;②△HED的面积是1﹣;③∠AFG=112.5°;④BC+FG=.其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
【答案】B
【解析】
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC=BC=AB,∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°,∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°,
∵△DHG是由△DBC旋转得到,
∴DG=DC=AD,∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°,
在Rt△ADE和Rt△GDE中,DE=DE,DA=DG,
∴△AED≌△GED,
∴∠ADE=∠EDG=22.5°,AE=EG,
∴∠AED=∠AFE=67.5°,
∴AE=AF,同理EG=GF,
∴AE=EG=GF=FA,
∴四边形AEGF是菱形,①正确,
∴∠AFG=67.5°×2=135°,③错误.
根据题意可求得BD=,BG=BD-DG=BD-CD=-1,
在等腰直角三角形EGB中,可求得BE=2-,即可求AE=AB-BE=1-(2-)=-1,
所以AH=AE=-1,即可得△HED的面积是 ,②正确;
由(1)的证明过程可得GF=FA,∠CFD=∠CDF=67.5°,所以CD=CF,即可得AC=CF+AF=CD+FG=,④正确.
综上,正确的结论为①②④.
故选B.
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【题目】如图,点A、D、C、F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)求证:ΔABC≌△DEF;
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.
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【题目】一根弹簧的长度为10厘米,当弹簧受到千克的拉力时(不超过10),弹簧的长度是(厘米),测得有关数据如下表所示:
拉力(千克) | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
弹簧的长度(厘米) | … |
(1)写出弹簧长度(厘米)关于拉力(千克)的函数解析式;
(2)如果拉力是10千克,那么弹簧长度是多少厘米?
(3)当拉力是多少时,弹簧长度是14厘米?
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【题目】探究题:观察下列各式:①;②;③.
(1)猜想的变形结果并验证;
(2)针对上述各式反映的规律,给出用(为任意自然数,且)表示的等式,并进行证明.
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【题目】如图,已知直线经过点,交x轴于点A,y轴于点B,F为线段AB的中点,动点C从原点出发,以每秒1个位长度的速度沿y轴正方向运动,连接FC,过点F作直线FC的垂线交x轴于点D,设点C的运动时间为t秒.
当时,求证:;
连接CD,若的面积为S,求出S与t的函数关系式;
在运动过程中,直线CF交x轴的负半轴于点G,是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
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【题目】(1)的绝对值是___________,相反数是___________.
(2)计算下列各式:
①
②
(3)无理数的整数部分是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(4)对于实数a,如果将不大于a的最大整数记为,则=_____________
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【题目】A市有近20年的马拉松比赛历史,过去全程马拉松名额一直相对较少。而近几年,这一现状大大改变,很多想参加全程马拉松(简称全马)的跑者报不上名。所以该城市近两年也大幅增加“全马”的名额。2017年,参加“全马”的人数比“半马”的人少,但是2018年,2019年参加“全马”的人数呈上升趋势,且每年比前一年均增加25%(即2018年比2017年增加25%,2019年比2018年增加25%),2019年,有12500名“全马”参赛者。
(1)求2017年、2018年“全马”参赛人数;
(2)据赞助食物的某商家反映:2017年与2018年该商家分别给参加“全马”和“半马”的参赛者提供了不同价格的食物,每个“全马”参赛者获得的食物价值高于“半马”参赛者,2017年,商家提供食物共用去22万元;这两年商家是按同一个标准分别给“全马”和“半马”参赛者提供食物(人太多,标准不可轻易提高),即使这样,2018年,虽然参加马拉松比赛的总人数与2017年一样多,但是由于“全马”参赛者人数刚好与“半马”参赛者人数调换了,赞助商比2017年多提供了p万元的食物;商家发现这p万元的食物刚好可以供400名“全马”参赛者和400名“半马”参赛者享用。求p的值。
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