【题目】如图,已知直线经过点,交x轴于点A,y轴于点B,F为线段AB的中点,动点C从原点出发,以每秒1个位长度的速度沿y轴正方向运动,连接FC,过点F作直线FC的垂线交x轴于点D,设点C的运动时间为t秒.
当时,求证:;
连接CD,若的面积为S,求出S与t的函数关系式;
在运动过程中,直线CF交x轴的负半轴于点G,是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2);(3).
【解析】
(1)连接OF,根据“直线经过点”可得k=1,进而求出A(﹣4,0),B(0,4),得出△AOB是等腰直角三角形,得出∠CBF=45°,得出OF= AB=BF,OF⊥AB,得出∠OFD=∠BFC,证得△BCF≌△ODF,即可得出结论
(2)①根据全等三角形的性质可得出0<t<4时,BC=OD=t﹣4,再根据勾股定理得出CD2=2t2-8t+16,证得△FDC是等腰直角三角形,得出,即可得出结果;
②同理当t≥4时,得出BC=OD=t﹣4,由勾股定理得出CD2=OD2+OC2=2t2﹣8t+16,证出△FDC是等腰直角三角形,得出FC2CD2,即可得出结果;
(3)由待定系数法求出直线CF的解析式,当y=0时,可得出G,因此OG,求出即可.
证明:连接OF,如图1所示:
直线经过点,
,解得:,
直线,
当时,;当时,;
,,
,
,
是等腰直角三角形,
,
为线段AB的中点,
,,,
,
,
,
,
在和中,,
≌,
;
解:当时,连接OF,如图2所示:
由题意得:,,
由得:≌,
,
,
,,
是等腰直角三角形,
,
的面积;
当时,连接OF,如图3所示:
由题意得:,,
由得:≌,
,
,
,,
是等腰直角三角形,
,
的面积;
综上所述,S与t的函数关系式为;
解:为定值;理由如下:
当时,如图4所示:
当设直线CF的解析式为,
,,F为线段AB的中点,
,
把点代入得:,
解得:,
直线CF的解析式为,
当时,,
,
,
;
当时,如图5所示:
同得:;
综上所述,为定值.
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【题目】已知:方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,△ABC的顶点均在格点上,点C的坐标为(4,-1).
(1)请以y轴为对称轴,画出与△ABC对称的△A1B1C1,并直接写出点A1、B1、C1的坐标;
(2)△ABC的面积是 .
(3)点P(a+1,b-1)与点C关于x轴对称,则a= ,b= .
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【题目】已知抛物线y=﹣x2+x+2与直线y=x+2相交于点C和D,点P是抛物线在第一象限内的点,它的横坐标为m,过点P作PE⊥x轴,交CD于点F.
(1)求点C和D的坐标;
(2)求抛物线与x轴的交点坐标;
(3)如果以P、C、O、F为顶点的四边形是平行四边形,求m的值.
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【题目】下列命题中,真命题的是( )
A.两边和一角对应相等,两三角形全等
B.两腰对应相等的两等腰三角形全等
C.两角和一边对应相等,两三角形全等
D.两锐角对应相等的两直角三角形全等
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【题目】如图,正方形ABCD的边长为1,AC,BD是对角线,将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH,HG交AB于点E,连接DE交AC于点F,连接FG.则下列结论:
①四边形AEGF是菱形;②△HED的面积是1﹣;③∠AFG=112.5°;④BC+FG=.其中正确的结论是( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
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【题目】如图一,在平面直角坐标系中,是轴正半轴上一点,是第四象限一点,轴,交轴负半轴于,且(a-2)+|b+3|=0,四边形AOBC=12.
(1)求点坐标
(2)如图二,设为线段上一动点(点不与点重合),求证:∠ADB+∠DBC-∠OAD=180°
(3)如图三,当点在线段上运动(点不与点重合),点在线段上运动(点不与点重合)时,连接、作∠OAD、∠DEB的平分线交于点,请你探索∠AFE与∠ADE之间的关系,并说明理由.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为H,连接AC,过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G,连接AE交CD于点F,且EG=FG.
(1)求证:EG是⊙O的切线;
(2)延长AB交GE的延长线于点M,若AH=2,,求OM的长.
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【题目】材料阅读:
若a是正整数,则长度为的线段是有可能表示正方形网格中两个格点之间的距离(设小正方形的长度为单位1).如图1所示,A、B两点之间的距离就是.
(1)在图1中以A为一个端点,画出一条长为的线段AC;
(2)(空格处填正整数,两组数要求不一样),并根据你填的数字,在图2中画出两种对应的线段,其长度均为;
(3)利用材料所给的方法,直接写出三边长分别为、、的三角形的面积:__________.
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【题目】已知:平面直角坐标系中,点A(a,b)的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16=0.
(1)如图1,求证:OA是第一象限的角平分线;
(2)如图2,过A作OA的垂线,交x轴正半轴于点B,点M、N分别从O、A两点同时出发,在线段OA上以相同的速度相向运动(不包括点O和点A),过A作AE⊥BM交x轴于点E,连BM、NE,猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系,并证明你的猜想;
(3)如图3,F是y轴正半轴上一个动点,连接FA,过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E,连接EF,过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H,过点H作HK⊥x轴于点K,求2HK+EF的值.
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