Question

【题目】问题探究，

(1)如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，P为CD边上的中点，试比较∠APB和∠ADB的大小关系，并说明理由；

(2)如图②，在正方形ABCD中，P为CD上任意一点，试问当P点位于何处时∠APB最大？并说明理由；

问题解决

(3)某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在OD边上点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果最佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC＝60°，OA＝400米，AB＝200米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大，若存在，请求出此时OP的长和∠APB的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) 结论：∠APB＞∠ADB ，理由见解析；(2) 当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由见解析；(3) 当经过A，B的⊙T与OD相切于P时，∠APB的值最大，理由见解析

【解析】

（1）作PH⊥AB于H，通过正方形和矩形的性质可得∠APB＝90°，再根据∠ADB＜90°，即可证明∠APB＞∠ADB；

（2）假设P为CD的中点，如图②中，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，根据∠AFB是△EFB的外角，可得∠AFB＞∠AEB，再根据∠AFB＝∠APB，从而可得∠APB＞∠AEB，故点P位于CD的中点时，∠APB最大；

（3）作TH⊥OC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT．设TP＝TA＝TB＝r，根据等边三角形的性质可得AH＝HB＝100 (m)，再根据含30°角的直角三角形的性质可得AT＝200m，故AT＝2AH，可得∠ATH＝30°，即∠ATB＝2∠ATH＝60°，根据圆周角定理可得∠APB＝∠ATB＝30°，再根据含30°角的直角三角形的性质求出OQ和PQ的长度，再根据OP＝OQ﹣PQ求解OP的长度即可．

解：（1）如图①中，结论：∠APB＞∠ADB．

理由：作PH⊥AB于H．

∵四边形ABCD是矩形，PH⊥AB，

∴∠ADP＝∠DAH＝∠AHP＝90°，

∴四边形ADPH是矩形，

∵AB＝CD＝2AD，DP＝PC，

∴DA＝DP，

∴四边形ADPH是正方形，

∴∠APH＝45°，同理可证∠BPH＝45°，

∴∠APB＝90°，

∵∠ADB＜90°，

∴∠APB＞∠ADB．

（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下：

假设P为CD的中点，如图②中，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，

在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，

∵∠AFB是△EFB的外角，

∴∠AFB＞∠AEB，

∵∠AFB＝∠APB，

∴∠APB＞∠AEB，

故点P位于CD的中点时，∠APB最大．

（3）如图③中，当经过A，B的⊙T与OD相切于P时，∠APB的值最大，

作TH⊥OC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT．设TP＝TA＝TB＝r，

∵TA＝TB，TH⊥AB，

∴AH＝HB＝100 (m)，

∵∠OHQ＝90°，∠O＝60°，OH＝OA+AH＝(400+100)(m)，

∴QH＝OH＝(400+300)(m)，∠OQH＝30°，

∴TQ＝2PT＝2r，

∵TH＝＝，

∴2r+＝400+300，

整理得：3r2﹣(1600+1200)r+60000+240000＝0，

∴(r﹣200)(r﹣1000﹣1200)＝0，

∴r＝200或1000+1200(舍弃)，

∴AT＝200m，

∴AT＝2AH，

∴∠ATH＝30°，∠ATB＝2∠ATH＝60°，

∴∠APB＝∠ATB＝30°，

∴，

∴OP＝OQ﹣PQ＝800+200﹣600＝(200+200)(m)．