Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线y＝x﹣3经过B，C两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第四象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点M，连接AC，过点M作MN⊥AC于点N，设点P的横坐标为t．

①求线段MN的长d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；

②点Q是平面内一点，是否存在一点P，使以B，C，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①；②存在，t＝1或．

【解析】

（1）首先求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；

（2）①根据S△ABC＝S△AMC+S△AMB，由三角形面积公式可求y与m之间的函数关系式；

②把抛物线的解析式化成顶点式，求得顶点坐标，过点C作CE⊥PD于点E，分两种情况讨论：如图1，当BC为矩形的边时，根据矩形的性质得到P（t，﹣3﹣t），代入抛物线的解析式，求得t＝1；如图2，当BC为矩形的对角线时，证得△CPE∽△PBD，得出CEBD＝PEPD，由CE＝t，BD＝3﹣t，PD＝﹣t2+2t+3＝﹣（t+1）（t﹣3）．PE＝PD﹣DE＝﹣t2+2t﹣3＝﹣t2+2t＝﹣t（t﹣2），列出t（3﹣t）＝t（t﹣2）（t+1）（t﹣3），解得即可．

（1）由直线y＝x﹣3过B，C两点，得B（3，0），C（0，﹣3），

将点B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中，

得

解得

故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）①对于y＝x2﹣2x﹣3，

当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，

解得x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0）

∴OA＝1，

∵OB＝OC＝3，

∴∠OBC＝∠BCO＝45°，AC＝，AB＝4．

连接AM．

∵PD⊥x轴于点D，

∴∠DMB＝∠GBM＝45°．

又∵点P的横坐标为t，

∴DM＝DB＝3﹣t．

∵S△ABC＝S△AMC+S△AMB，

∴

即

∴

②存在，t＝1或，

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），

过点C作CE⊥PD于点E．

如图（1），当BC为矩形的边时，

由∠BCP＝90°，∠BCE＝45°，可得∠EPC＝∠ECP＝45°，

∴PE＝CE＝t，

∴P（t，﹣3﹣t）．

将P（t，﹣3﹣t）代入y＝x2﹣2x﹣3，

得﹣3﹣t＝t2﹣2t﹣3，

解得t1＝0（不合题意，舍去），t2＝1．

如图（2），当BC为矩形的对角线时，

∵∠PCE+∠CPE＝90°，∠CPE+∠BPD＝90°，

∴∠PCE＝∠BPD，

∴△CPE∽△PBD，

∴，即CEBD＝PEPD．

∵点P的横坐标为t．

∴CE＝t，BD＝3﹣t，PD＝﹣t2+2t+3＝﹣（t+1）（t﹣3）．PE＝PD﹣DE＝﹣t2+2t﹣3＝﹣t2+2t＝﹣t（t﹣2），

故t（3﹣t）＝t（t﹣2）（t+1）（t﹣3），

整理，得t2﹣t﹣1＝0，

解得（不合题意，舍去）．

综上可知，t的值为1或．