【题目】如图,二次函数的图象与x轴的一个交点为B(4,0),另一个交点为A,且与y轴相交于C点.
(1)求m的值及C点坐标;
(2)在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得它与B,C两点构成的三角形面积最大,若存在,求出此时M点坐标;若不存在,请简要说明理由;
(3)P为抛物线上一点,它关于直线BC的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;
②点P的横坐标为t(0<t<4),当t为何值时,四边形PBQC的面积最大,请说明理由.
【答案】(1)m=4,C(0,4);(2)存在,M(2,6);(3)①P(,)或P(,);②当t=2时,S四边形PBQC最大=16.
【解析】
试题分析:(1)用待定系数法求出抛物线解析式;
(2)先判断出面积最大时,平移直线BC的直线和抛物线只有一个交点,从而求出点M坐标;
(3)①先判断出四边形PBQC时菱形时,点P是线段BC的垂直平分线,利用该特殊性建立方程求解;
②先求出四边形PBCQ的面积与t的函数关系式,从而确定出它的最大值.
试题解析:(1)将B(4,0)代入,解得,m=4,∴二次函数解析式为,令x=0,得y=4,∴C(0,4);
(2)存在,理由:∵B(4,0),C(0,4),∴直线BC解析式为y=﹣x+4,当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时,△MBC面积最大,∴,∴,∴△=16﹣4b=0,∴b=4,∴,∴M(2,6);
(3)①如图,∵点P在抛物线上,∴设P(m,),当四边形PBQC是菱形时,点P在线段BC的垂直平分线上,∵B(4,0),C(0,4),∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x,∴m=,∴m=,∴P(,)或P(,);
②如图,设点P(t,),过点P作y轴的平行线l,过点C作l的垂线,∵点D在直线BC上,∴D(t,﹣t+4),∵PD=﹣(﹣t+4)=,BE+CF=4,∴S四边形PBQC=2S△PDC=2(S△PCD+S△BD)=2(PD×CF+PD×BE)=4PD==,∵0<t<4,∴当t=2时,S四边形PBQC最大=16.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法不正确的是( )
A. 零既不是正数也不是负数 B. 一个负数的绝对值是它的相反数
C. 两个负数,绝对值大的反而小 D. 互为倒数的两数相加得零
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点B坐标为(6,0),点C坐标为(0,6),点D是抛物线的顶点,过点D作x轴的垂线,垂足为E,连接BD.
(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;
(2)点F是抛物线上的动点,当∠FBA=∠BDE时,求点F的坐标;
(3)若点M是抛物线上的动点,过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在平面内,以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请直接写出点Q的坐标.
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