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【题目】如图,二次函数的图象与x轴的一个交点为B(4,0),另一个交点为A,且与y轴相交于C点

(1)求m的值及C点坐标;

(2)在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得它与B,C两点构成的三角形面积最大,若存在,求出此时M点坐标;若不存在,请简要说明理由

(3)P为抛物线上一点,它关于直线BC的对称点为Q

①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;

②点P的横坐标为t(0t4),当t为何值时,四边形PBQC的面积最大,请说明理由.

【答案】(1)m=4,C(0,4);(2)存在,M(2,6);(3)P()或P();当t=2时,S四边形PBQC最大=16.

【解析】

试题分析:(1)用待定系数法求出抛物线解析式;

(2)先判断出面积最大时,平移直线BC的直线和抛物线只有一个交点,从而求出点M坐标;

(3)①先判断出四边形PBQC时菱形时,点P是线段BC的垂直平分线,利用该特殊性建立方程求解;

②先求出四边形PBCQ的面积与t的函数关系式,从而确定出它的最大值.

试题解析:(1)将B(4,0)代入,解得,m=4,二次函数解析式为,令x=0,得y=4,C(0,4)

(2)存在,理由:B(4,0),C(0,4),直线BC解析式为y=﹣x+4,当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时,MBC面积最大,∴△=16﹣4b=0,b=4,M(2,6)

(3)①如图,点P在抛物线上,设P(m,),当四边形PBQC是菱形时,点P在线段BC的垂直平分线上,B(4,0),C(0,4)线段BC的垂直平分线的解析式为y=x,m=m=P()或P();

②如图,设点P(t,),过点P作y轴的平行线l,过点C作l的垂线,点D在直线BC上,D(t,﹣t+4),PD=﹣(﹣t+4)=,BE+CF=4,S四边形PBQC=2S△PDC=2(S△PCD+S△BD)=2(PD×CF+PD×BE)=4PD==0t4,当t=2时,S四边形PBQC最大=16

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(1)求抛物线的解析式及点D的坐标;

(2)点F是抛物线上的动点,当FBA=BDE时,求点F的坐标;

(3)若点M是抛物线上的动点,过点M作MNx轴与抛物线交于点N,点P在x轴上,点Q在平面内,以线段MN为对角线作正方形MPNQ,请直接写出点Q的坐标.

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