Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD于点Q，连接CQ。取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，则AQ的长________。

Answer 1

【答案】2

【解析】分析：如图，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，证得△MDF≌△PME，求得ME=，再利用梯形的中位线定理求解即可.

详解：

如图，过M作EF⊥CD于F，则EF⊥AB，

∵MD⊥MP，

∴∠PMD=90°，

∴∠PME+∠DMF=90°，

∵∠FDM+∠DMF=90°，

∴∠MDF=∠PME，

∵M是QC的中点，

根据直角三角形斜边上的中线性质求得DM=PM=QC，

在△MDF和△PME中，，

∴△MDF≌△PME（AAS），

∴ME=DF，PE=MF，

∵EF⊥CD，AD⊥CD，

∴EF∥AD，

∵QM=MC，

∴DF=CF=DC=；

∴ME=，

∵ME是梯形ABCQ的中位线，

∴2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，

∴AQ=2．

故答案为:2.