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【题目】如图,四边形AOBC是正方形,点C的坐标是(40).

(Ⅰ)正方形AOBC的边长为   ,点A的坐标是   

(Ⅱ)将正方形AOBC绕点O顺时针旋转45°,点ABC旋转后的对应点为A′,B′,C′,求点A′的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积;

(Ⅲ)动点P从点O出发,沿折线OACB方向以1个单位/秒的速度匀速运动,同时,另一动点Q从点O出发,沿折线OBCA方向以2个单位/秒的速度匀速运动,运动时间为t秒,当它们相遇时同时停止运动,当△OPQ为等腰三角形时,求出t的值(直接写出结果即可).

【答案】14;(2)旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为;(3.

【解析】

1)连接AB,根据OCA为等腰三角形可得AD=OD的长,从而得出点A的坐标,则得出正方形AOBC的面积;
2)根据旋转的性质可得OA′的长,从而得出A′CA′E,再求出面积即可;
3)根据PQ点在不同的线段上运动情况,可分为三种列式①当点PQ分别在OAOB时,②当点POA上,点QBC上时,③当点PQAC上时,可方程得出t

解:(1)连接AB,与OC交于点D

四边形是正方形,
OCA为等腰Rt

AD=OD=OC=2
∴点A的坐标为.

4.

2)如图

四边形是正方形,

.

将正方形绕点顺时针旋转

落在轴上.

.

的坐标为.

.

四边形是正方形,

.

.

.

.

.

∴旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积为.

3)设t秒后两点相遇,3t=16,∴t=

①当点PQ分别在OAOB时,

,OP=tOQ=2t

不能为等腰三角形

②当点POA上,点QBC上时如图2

OQ=QPQMOP的垂直平分线,
OP=2OM=2BQOP=tBQ=2t-4
t=22t-4),
解得:t=

③当点PQAC上时,

不能为等腰三角形

综上所述,当是等腰三角形

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