Question

3．如图，△ABC和△CDE均为等边三角形，BC边上的中垂线AM交BC边于点M．△CDE绕着点C旋转，点D落在直线AM上（点D不与点A、M重合）时停止，△CDE在CD边的下方，连接BE．

（1）如图1所示，当点D在线段AM上，求证：BE+DM=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$BC；
（2）在（1）的条件下，设直线BE交直线AM于点N，如图2所示，若$\frac{EN}{CM}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，且△CDE的面积为$\frac{{39\sqrt{3}}}{4}$，求线段BN的长．

Answer 1

分析 （1）先证明△BCE≌△ACD，得出BE=AD，再证出AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，即可得出结论；
（2）作DF⊥AC于F，EG⊥BC于G，设EN=$\sqrt{3}$x，CM=6x，通过证明△BEG≌△ADF，得出DF=EG，求出CF=$\frac{9}{2}$x，再根据勾股定理得出CD²=DF²+CF²=39x²，然后由△CDE的面积求出x=1，即可求出BN的长．

解答 （1）证明：△ABC和△CDE均为等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=∠BAC=∠DCE=60°，CE=CD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}&{\;}\\{∠BCE=∠ACD}&{\;}\\{CE=CD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE=AD，
∴BE+DM=AD+DM=AM，
∵AM是BC的中垂线，
∴∠AMB=90°，
∴AM=AB•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC，
∴BE+DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC；
（2）解：作DF⊥AC于F，EG⊥BC于G，如图2所示：
设EN=$\sqrt{3}$x，CM=6x，则BM=6x，BC=AB=AC=12x，
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，
∴BN=$\frac{BM}{cos30°}$=4$\sqrt{3}$x，
∴BE=5$\sqrt{3}$x，
∴EG=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x，
在△BEG和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠CAD}&{\;}\\{∠BGE=∠AFD=90°}&{\;}\\{BE=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEG≌△ADF（AAS），
∴DF=EG=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x，
∴AF=$\sqrt{3}$DF=$\frac{15}{2}$x，
∴CF=12x-$\frac{15}{2}$x=$\frac{9}{2}$x，
在Rt△CDF中，根据勾股定理得：
CD²=DF²+CF²=（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$x）²+（$\frac{9}{2}$x）²=39x²，
∵正三角形CDE的面积=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CD²=$\frac{39\sqrt{3}}{4}$，
∴x²=1，解得：x=1，
∴BN=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理、三角函数的运用、三角形面积的计算方法；本题难度较大，综合性强，有利于培养学生综合运用知识进行推理和计算的能力以及探究精神；证明三角形全等是解决问题的关键．