Question

3．如图，已知在四边形ABCD中．∠B+∠D=180°，AC平分∠BAD，CE⊥AB，E为垂足．求证：AB+AD=2AE．

Answer 1

分析 过C作CF⊥AD的延长线于点F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF=CE．再由条件∠ADC+∠B=180°证BE=DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得DF=EB，问题可得解．

解答 证明：如图，

过C作CF⊥AD的延长线于点F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC=∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠CEB=90°，
在△AFC和△AEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAC=∠EAC}\\{∠DFC=∠CEB}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△AEC，
∴AF=AE，CF=CE，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDC=∠EBC，
在△FDC和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDC=∠EBC}\\{∠DFC=∠BEC}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴△FDC≌△EBC，
∴DF=EB，
∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE，
∴AB+AD=2AE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握常用的判定方法为：SAS，SSS，AAS，ASA是解决问题的关键．