Question

9．如图所示，已知正方形ABCD和正△AEF都内接于圆，EF与BC和CD分别交于G、H，则GH：EF=$\sqrt{3}$：3．

Answer 1

分析 设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值，求出比值即可

解答 解：如图，连接AC、BD、OF，AC交EF于I，
设⊙O的半径是r，
则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴COF=30°+30°=60°，
∴FI=r•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r×2=$\sqrt{3}$r，
∵AO=2OI，
∴OI=$\frac{1}{2}$r，CI=r-$\frac{1}{2}$r=$\frac{1}{2}$r，
∴$\frac{GH}{BD}$=$\frac{CI}{CO}$=$\frac{1}{2}$，
∴GH=r，
∴GH：EF=$\sqrt{3}$：3．
故答案为：$\sqrt{3}$：3．

点评 此题主要考查了正多边形与圆的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念：①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．