Question

10．如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，BE为∠ABC的角平分线，BE交CD于点F，M为线段AC上一点，且AM=EC，直线MF与CB交于点N．求证：DE⊥DN．

Answer 1

分析 过E作EG⊥AB于G，连接BF，根据角平分线的性质得到CE=GE，证得R_t△BGE≌R_t△BCE，得到BC=BG，通过△BGF≌△BCF，得到CF=GF，根据余角和外角的性质得到∠CEF=∠CFE，推出CE=CF，求出四边形CEGF是菱形，由菱形的性质得到GF∥AC，求出四边形AGFM是平行四边形，根据平行四边形的性质得到MN∥AB，由于△CMN∽△CAB，得到$\frac{CM}{CA}=\frac{CN}{BC}$，$\frac{CM}{CN}=\frac{CA}{BC}$，等量代换得到$\frac{AE}{CN}=\frac{AD}{CD}$，证得△ADE∽△CND，根据相似三角形的性质得到∠EDA=∠CDN，由∠CDA=∠CDE+∠EDA=90°，于是得到结论．

解答 解：过E作EG⊥AB于G，连接BF，
∵BE为∠ABC的角平分线，∠C=90°，
∴CE=GE，
在R_t△BGE与R_t△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=GE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴R_t△BGE≌R_t△BCE，
∴BC=BG，
在△BGF与△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BG}\\{∠CBF=∠GBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△BCF，
∴CF=GF，
∵CD⊥AB，
∴∠A+∠B=∠BCD+∠B=90°，
∴∠A=∠DCB，
∵∠CEB=∠EBA+∠A，∠CFE=∠FBC+∠FCB，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
∴CE=CF=GF=GE，
∴四边形CEGF是菱形，
∴GF∥AC，
∵AM=CE，
∴AM=FG，
∴四边形AGFM是平行四边形，
∴MN∥AB，
∴CD⊥MN，
∴∠CMN=∠A，
∴△CMN∽△CAB，
∴$\frac{CM}{CA}=\frac{CN}{BC}$，$\frac{CM}{CN}=\frac{CA}{BC}$，
∵$\frac{CA}{BC}=\frac{AD}{CD}$，
∴$\frac{AE}{CN}=\frac{AD}{CD}$，
∵∠A=∠DCN，
∴△ADE∽△CND，
∴∠EDA=∠CDN，
∵∠CDA=∠CDE+∠EDA=90°，
∴∠EDN=∠CDE+∠CDN=∠CDE+∠EDA=90°，
∴DE⊥DN．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，垂直的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．