Question

阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于-1，记为i²=-1，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3-4i）=（2+3）+（1-4）i=5-3i．
（1）填空：i³=

 

，i⁴=

 

．
（2）计算：①（1+i）（1-i）；   ②（1+i）²；
（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将

2+i

2-i

化简成a+bi的形式．

Answer 1

考点：整式的混合运算,实数的运算,分式的混合运算

专题：阅读型,新定义

分析：（1）根据已知i²=-1代入求出即可；
（2）①先根据平方差公式进行计算，再代入求出即可；
②先根据完全平方公式展开，再代入求出即可；
（3）先根据平方差公式分母有理化，再根据公式进行计算，最后代入求出即可．

解答：解：（1）i³=i²×i=-i；
i⁴=（-1）²=1，
故答案为：-i，1．

（2）①（1+i）（1-i）
=1-i²
=1-（-1）
=2；   
②（1+i）²
=1+2i+i²
=2i；

（3）原式=

(2+i)2

(2-i)(2+i)

=

4+4i+i2

4-i2

=

4+4i-1

4-(-1)

=

3

5

+

4

5

i．

点评：本题考查了平方差公式，完全平方公式，分母有理化的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，难度适中．