Question

【题目】如图1，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，点E在线段OA上，EP⊥OA交AB于点N，PM⊥AB，直线PB与AO交于点F．

（1）若AN＝3，S△PBN＝8，求PN的长；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若△PFE～△BAO且＝，求OE的长；

（3）如图2，若OE＝2，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α （0°＜α＜90°），连接E'A、E'B，求E'A+E'B的最小值．

Answer 1

【答案】（1）PN＝10；（2）OE＝；（3）

【解析】

（1）证明△PMN∽△AOB，可得，由此即可解决问题．

（2）如图1﹣2中，作BK⊥PN于K，设PN＝6k．利用等腰三角形的性质证明PK＝KN＝3k，BK＝4k，BN＝5k，由△PMN∽△AEN，且，推出，推出AN＝10k，可得AB＝15k＝5，解得k＝，由此即可解决问题．

（3）如图3中，在BO上取一点的K，使得OK＝，连接KE′，KA．证明△OKE′∽△OE′B，推出E′K：BE′＝OE′：OB＝2：3，推出E′K＝BE′，推出AE′+BE′＝AE′+KE′，由AE′+KE′≥AK，求出AK即可解决问题．

解：（1）如图1﹣1中，

在Rt△AOB中，∵OB＝3，OA＝4，

∴AB＝，

∵AN＝3，

∴BN＝AB﹣AN＝2，

∵PM⊥AM，

∴S△PBN＝＝8，

∴PM＝8，

∵PE⊥OA，

∴∠AEN＝∠AOB＝∠M＝90°，

∴OB∥PN，

∴∠ABO＝∠PNM，

∴△PMN∽△AOB，

∴，

∴，

∴PN＝10．

（2）如图1﹣2中，作BK⊥PN于K，设PN＝6k．

∵△PFE∽△BAO，

∴∠F＝∠A，

∵PK∥AF，

∴∠PBK＝∠∠KBN＝∠A，

∴∠PBK＝∠KBN，

∵BK⊥PN，

∴∠BKP＝∠BKN＝90°，

∴∠BPK+∠PBK＝90°，∠BNK+∠KBN＝90°，

∴∠BPK＝∠BNK，

∴BP＝BN，

∴PK＝KN＝3k，BK＝4k，BN＝5k，

∵△PMN∽△AEN，且，

∴，

∴AN＝10k，

∴AB＝15k＝5，

∴k＝，

∴BK＝，

∵四边形BOEK是矩形，

∴OE＝BK＝．

（3）如图3中，在BO上取一点的K，使得OK＝，连接KE′，KA．

∵OE′2＝4，OKOB＝×3＝4，

∴OE′2＝OKOB，

∴，

∵∠KOE′＝∠BOE′，

∴△OKE′∽△OE′B，

∴E′K：BE′＝OE′：OB＝2：3，

∴E′K＝BE′，

∴AE′+BE′＝AE′+KE′，

∵AE′+KE′≥AK，AK＝，

∴AE′+BE′≥，

∴E'A+E'B的最小值为．