Question

【题目】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；

（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣6；（2）点D的坐标为（，﹣5）；（3）△BCE的面积有最大值，点E坐标为（，﹣）．

【解析】

（1）先求出点A，C的坐标，再将其代入y＝x2+bx+c即可；

（2）先确定BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，求出直线BC的解析式，再求出其与对称轴的交点即可；

（3）如图2，连接OE，设点E（a，a2﹣a﹣6），由式子S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC即可求出△BCE的面积S与a的函数关系式，由二次函数的图象及性质可求出△BCE的面积最大值，并可写出此时点E坐标．

解：（1）∵OA＝2，OC＝6，

∴A（﹣2，0），C（0，﹣6），

将A（﹣2，0），C（0，﹣6）代入y＝x2+bx+c，

得，

解得，b＝﹣1，c＝﹣6，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣x﹣6；

（2）在y＝x2﹣x﹣6中，

对称轴为直线x＝，

∵点A与点B关于对称轴x＝对称，

∴如图1，可设BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，

而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，

在y＝x2﹣x﹣6中，

当y＝0时，x1＝﹣2，x2＝3，

∴点B的坐标为（3，0），

设直线BC的解析式为y＝kx﹣6，

将点B（3，0）代入，

得，k＝2，

∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，

当x＝时，y＝﹣5，

∴点D的坐标为（，﹣5）；

（3）如图2，连接OE，

设点E（a，a2﹣a﹣6），

S△BCE＝S△OCE+S△OBE﹣S△OBC

＝×6a+×3（﹣a2+a+6）﹣×3×6

＝﹣a2+a

＝﹣（a﹣）2+，

根据二次函数的图象及性质可知，当a＝时，△BCE的面积有最大值，

当a=时,

∴此时点E坐标为（，﹣）．