【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．
(1) 求证：CD是⊙O的切线；
(2) 若⊙O的直径为4，AD=3，试求∠BAC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）30°.
【解析】
(1)连接OC,证先利用角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠OCA=∠DAC，从而OC∥AD，由平行线的性质可得OC⊥CD，从而得出CD是⊙O切线；
(2)连接BC,证明△ACB∽△ADC,求出AC的长度,再求出∠BAC的余弦,得出∠BAC的度数.
解：(1) 连结OC.
∵
平分
，∴∠BAC=∠DAC.
又OA=OC, ∴∠BAC=∠OCA, ∴∠OCA=∠DAC, ∴OC∥AD.
∵AD⊥CD, ∴OC⊥CD, ∴CD是⊙O的切线.
(2) 连结BC. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=∠ADC=90°.
又∠BAC=∠DAC, ∴△ACB∽△ADC. ∴, 
, , ∴AC=
.
在Rt△ACB中, cos∠BAC=
, ∴∠BAC=30°.
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【题目】一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为1，2，3. 小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球， 记下标号. 若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.
（1）用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
（2）请判断这个游戏是否公平，并说明理由.
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【题目】如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；
（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
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【题目】已知
是
的外接圆，
是的直径，过
的中点
作的直径
交弦
于点
，连接
、
、
.
（1）如图1，若点是线段
的中点，求
的度数；
（2）如图2，在
上取一点
，使
，求证：
；
（3）如图3，取的中点
，连接
并延长交于点
，连接
和交于点
，若
，且
，求的长.
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【题目】已知下列命题:
①若
，则
；
②当
时，若
，则
；
③直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；
④矩形的两条对角线相等.
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A.
个B.
个C.
个D.
个
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【题目】某工厂拟建一个如图所示的矩形仓库ABCD，仓库的一边是长为12m的一面墙，另外三边用30m长的建筑材料围成．设AB的长为xm，矩形ABCI的面积为Sm2．
(1)用含x的代数式表示BC的长，并求出x的取值范围．
(2)写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．
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【题目】如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处．
（1）若灯塔P周围50海里范围内有暗礁，海轮从A处到B处的途中，是否有触礁危险？
（2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由．（参考数据：
≈1.41，
≈1.73，
≈2.45）
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【题目】如图所示，线段
是⊙
的直径，过
点作直线
交⊙于、
两点，过点作
的角平分线交⊙于
，过作
的垂线交于
（1）证明
是⊙的切线
（2）证明
（3）若⊙的直径为10，
，求
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【题目】如图，矩形OABC中，OA＝4，AB＝3，点D在边BC上，且CD＝3DB，点E是边OA上一点，连接DE，将四边形ABDE沿DE折叠，若点A的对称点A′恰好落在边OC上，则OE的长为（ ）
A.
B.
C.
D.1
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