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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,AC为弦,且平分∠BAD,AD⊥CD,垂足为D.

(1) 求证:CD是⊙O的切线;

(2) 若⊙O的直径为4,AD=3,试求∠BAC的度数.

【答案】1)证明见解析;(230°.

【解析】

(1)连接OC,证先利用角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠OCA=DAC,从而OCAD,由平行线的性质可得OCCD,从而得出CDO切线;

(2)连接BC,证明ACB∽△ADC,求出AC的长度,再求出BAC的余弦,得出BAC的度数.

解:(1) 连结OC.

平分,∴∠BAC=DAC.

又OA=OC, ∴∠BAC=OCA, ∴∠OCA=DAC, OCAD.

ADCD, OCCD, CD是⊙O的切线.

(2) 连结BC. AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∴∠ACB=ADC=90°.

又∠BAC=DAC, ∴△ACB∽△ADC. , , , AC=.

在RtACB中, cosBAC=, ∴∠BAC=30°.

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A.B.C.D.1

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