【题目】已知是的外接圆,是的直径,过的中点作的直径交弦于点,连接、、.
(1)如图1,若点是线段的中点,求的度数;
(2)如图2,在上取一点,使,求证:;
(3)如图3,取的中点,连接并延长交于点,连接和交于点,若,且,求的长.
【答案】(1);(2)见解析;(3)
【解析】
(1)根据垂径定理可得是的垂直平分线,又由点是线段的中点,可得是的垂直平分线,进而得出为等边三角形,由直径所对的圆周角是直角,可在Rt△ABC中根据角的运算即可求出结果.
(2)根据内错角相等,两直线平行可得,由得出边角相等,进而得出,得出四边形是平行四边形,得到.
(3)由点是中点,得出是中位线,如图所示构造辅助线,根据已知条件,运用勾股定理列出方程,解出方程.
(1)解:连接
∵点是中点
∴
又∵
∴是的垂直平分线
又∵是中点
∴是的垂直平分线
∴
又∵
∴为等边三角形
∴
∵是直径
∴
∴
(2)证明:连接
由(1)可知
∵
∴
∴
∴
同理可知
∴
∴
∴
∴
∴四边形是平行四边形
∴
(3)由(1)可知点是中点
∵点是中点
∴是中位线
即
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
延长交于点,连接,连接并延长交于点,连接和,延长和相交于点.
∵
∴
∵是的直径
∴
∴
∴
过点作,垂足为,过点作,垂足为,
设则,,,,,,
∴
∵是的中位线
∴
在中
在中设,,,
在中,
在中解得(舍去)
,
∵
∴
∴
在中,,,
在中
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【题目】如图,在直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A(-3,0)、B(1,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的函数表达式.
(2)在抛物线上是否存在点D,使得△ABD的面积等于△ABC的面积的倍?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点,点F是AE的中点,请直接写出线段OF的最大值和最小值.
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【题目】如图1所示矩形中,,,与满足的反比例函数关系如图2所示,等腰直角三角形的斜边过点,点,分别在,上,为的中点,则下列结论正确的是( )
A.当时,
B.当时,
C.当增大时,的值增大
D.当增大时,的值不变
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【题目】体育中考前,抽样调查了九年级学生的“1分钟跳绳”成绩,并绘制成了下面的频数分布直方图(每小组含最小值,不含最大值)和扇形图.
(1)补全频数分布直方图;
(2)扇形图中m= ;
(3)若“1分钟跳绳”成绩大于或等于140次为优秀,则估计全市九年级5900名学生中“1分钟跳绳”成绩为优秀的大约有多少人?
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【题目】阅读理解:如图1,在正多边形A1A2A3…An的边A2A3上任取一不与点A2重合的点B2,并以线段A1B2为边在线段A1A2的上方作以正多边形A1B2B3…Bn,把正多边形A1B2B3…Bn叫正多边形A1A2…An的准位似图形,点A3称为准位似中心.
特例论证:(1)如图2已知正三角形A1A2A3的准位似图形为正三角形A1B2B3,试证明:随着点B2的运动,∠B3A3A1的大小始终不变.
数学思考:(2)如图3已知正方形A1A2A3A4的准位似图形为正方形A1B2B3B4,随着点B2的运动,∠B3A3A4的大小始终不变?若不变,请求出∠B3A3A4的大小;若改变,请说明理由.
归纳猜想:(3)在图(1)的情况下:①试猜想∠B3A3A4的大小是否会发生改变?若不改变,请用含n的代数式表示出∠B3A3A4的大小(直接写出结果);若改变,请说明理由.②∠B3A3A4+∠B4A4A5+∠B5A5A6+…+∠BnAnA1= (用含n的代数式表示)
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【题目】已知,抛物线(为常数).
(1)抛物线的顶点坐标为( , )(用含的代数式表示);
(2)若抛物线经过点且与图象交点的纵坐标为3,请在图1中画出抛物线的简图,并求的函数表达式;
(3)如图2,规矩的四条边分别平行于坐标轴,,若抛物线经过两点,且矩形在其对称轴的左侧,则对角线的最小值是 .
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【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,AC为弦,且平分∠BAD,AD⊥CD,垂足为D.
(1) 求证:CD是⊙O的切线;
(2) 若⊙O的直径为4,AD=3,试求∠BAC的度数.
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【题目】甲、乙两人同时骑自行车分别从A、B两地出发到AB之间的C地,且A、B、C三地在同一直线上.当乙到达C地时甲还未到达,乙在C地等了5分钟,接到甲的电话说他的自行车坏了需要工具修理,于是乙在C地拿了工具箱立即以原来倍的速度前往甲坏车处,乙与甲会合后帮助甲花了10分钟修好自行车,然后两人以甲原来倍的速度骑行同时到达C地.甲乙两人距C地的距离之和y(米)与甲所用时间x(分钟)之间的函数关系如图所示(乙接电话和找工具箱的时间忽略不计),则A、B两地之间的距离为___米.
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