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【题目】已知的外接圆,的直径,过的中点的直径交弦于点,连接.

1)如图1,若点是线段的中点,求的度数;

2)如图2,在上取一点,使,求证:

3)如图3,取的中点,连接并延长于点,连接交于点,若,且,求的长.

【答案】1;(2)见解析;(3

【解析】

1)根据垂径定理可得的垂直平分线,又由点是线段的中点,可得的垂直平分线,进而得出为等边三角形,由直径所对的圆周角是直角,可在Rt△ABC中根据角的运算即可求出结果.

(2)根据内错角相等,两直线平行可得,由得出边角相等,进而得出,得出四边形是平行四边形,得到.

(3)由点中点,得出中位线,如图所示构造辅助线,根据已知条件,运用勾股定理列出方程,解出方程.

1)解:连接

∵点中点

又∵

的垂直平分线

又∵中点

的垂直平分线

又∵

为等边三角形

直径

2)证明:连接

由(1)可知

同理可知

∴四边形是平行四边形

3)由(1)可知点中点

∵点中点

中位线

延长于点,连接,连接并延长交于点,连接,延长相交于点.

的直径

过点,垂足为,过点,垂足为

的中位线

中设

解得(舍去)

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特例论证:(1)如图2已知正三角形A1A2A3的准位似图形为正三角形A1B2B3,试证明:随着点B2的运动,∠B3A3A1的大小始终不变.

数学思考:(2)如图3已知正方形A1A2A3A4的准位似图形为正方形A1B2B3B4,随着点B2的运动,∠B3A3A4的大小始终不变?若不变,请求出∠B3A3A4的大小;若改变,请说明理由.

归纳猜想:(3)在图(1)的情况下:①试猜想∠B3A3A4的大小是否会发生改变?若不改变,请用含n的代数式表示出∠B3A3A4的大小(直接写出结果);若改变,请说明理由.②∠B3A3A4+B4A4A5+B5A5A6+…+BnAnA1=   (用含n的代数式表示)

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3)如图2,规矩的四条边分别平行于坐标轴,,若抛物线经过两点,且矩形在其对称轴的左侧,则对角线的最小值是

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