Question

【题目】已知，抛物线（为常数）．

（1）抛物线的顶点坐标为( ， )（用含的代数式表示）；

（2）若抛物线经过点且与图象交点的纵坐标为3，请在图1中画出抛物线的简图，并求的函数表达式；

（3）如图2，规矩的四条边分别平行于坐标轴，，若抛物线经过两点，且矩形在其对称轴的左侧，则对角线的最小值是 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）图象见解析，或；（3）

【解析】

（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可得出顶点坐标；

（2）根据抛物线经过点M，用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得出图象，然后将纵坐标3代入抛物线的解析式中，求出横坐标，然后将点再代入反比例函数的表达式中即可求出反比例函数的表示式；

（3）设出A的坐标，表示出C,D的坐标，得到CD的长度，根据题意找到CD的最小值，因为AD的长度不变，所以当CD最小时，对角线AC最小，则答案可求．

解：（1），

抛物线的顶点的坐标为．

故答案为：

（2）将代入抛物线的解析式得：

解得：，

抛物线的解析式为．

抛物线的大致图象如图所示：

将代入得：

，

解得：或

抛物线与反比例函数图象的交点坐标为或．

将代入得：，

．

将代入得：，

．

综上所述，反比例函数的表达式为或．

（3）设点的坐标为，

则点的坐标为，

的坐标为．

的长随的增大而减小．

矩形在其对称轴的左侧，抛物线的对称轴为，

当时，的长有最小值，的最小值．

的长度不变，

当最小时，有最小值．

的最小值

故答案为：．