Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣2，﹣4)，直线x=﹣2与x轴相交于点B，连接OA，抛物线y=﹣x2从点O沿OA方向平移，与直线x=﹣2交于点P，顶点M到点A时停止移动．

（1）线段OA所在直线的函数解析式是　 ；

（2）设平移后抛物线的顶点M的横坐标为m，问：当m为何值时，线段PA最长？并求出此时PA的长．

（3）若平移后抛物线交y轴于点Q，是否存在点Q使得△OMQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x；（2）当m=1时，PA的值最大，PA的最大值为1；（3）存在，(0，5﹣2)或(0，﹣8)

【解析】

（1）利用待定系数法求直线OA的解析式；

（2）设M点的坐标为（m，2m），（﹣2≤m＜0），利用顶点式写出平移后抛物线解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m，则 P点的坐标为（﹣2，﹣m2﹣2m﹣4），所以PA=﹣m2﹣2m，然后利用二次函数的性质解决问题；

（3）先确定OQ=m2﹣2m，OM=﹣m，再讨论：当OM=OQ，即﹣m=m2﹣2m，然后解方程求出m即可得到此时Q点坐标；当OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如图1，利用OH=QH得到﹣2m=m2﹣2m﹣（﹣2m），然后解方程求出m即可得到Q点坐标；当QM=QO，作QF⊥OM于F，如图2，则OF=MF=﹣m，证明Rt△OFQ∽Rt△ABO，利用相似比得到，解得m不满足条件舍去．

解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，

把（﹣2，﹣4）代入得﹣2k=﹣4，解得k=2，

所以直线OA的解析式为y=2x；

故答案为y=2x；

（2）设M点的坐标为（m，2m），（﹣2≤m＜0），

∴平移后抛物线解析式为y=﹣（x﹣m）2+2m，

当x=﹣2时，y=﹣（2﹣m）2+2m=﹣m2﹣2m﹣4，

∴P点的坐标为（﹣2，﹣m2﹣2m﹣4），

∴PA=﹣m2﹣2m﹣4﹣（﹣4）=﹣m2﹣2m=﹣（m﹣1）2+1

∴当m=1时，PA的值最大，PA的最大值为1；

（3）存在，理由如下：

当x=0时，y=﹣（0﹣m）2+2m=﹣m2+2m，则Q（0，﹣m2+2m），

∵OQ=m2﹣2m，OM=﹣m，

当OM=OQ，即﹣m=m2﹣2m，即m2﹣（2﹣）m=0，解得m1=0（舍去），m2=2﹣，此时Q点坐标为（0，5﹣2）；

当OM=MQ，作MH⊥OQ于H，如图1，则OH=QH，﹣2m=m2﹣2m﹣（﹣2m），即m2+2m=0，解得m1=0（舍去），m2=﹣2，此时Q点坐标为（0，﹣8）；

当QM=QO，作QF⊥OM于F，如图2，则OF=MF=﹣m，

∵OQ∥AB，

∴∠QOF=∠BAO，

∴Rt△OFQ∽Rt△ABO，

∴，即，整理得4m2﹣3m=0，解得m1=0（舍去），m2=（舍去），

综上所述，满足条件的Q点坐标为（0，5﹣2）或（0，﹣8）．