Question

【题目】如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，2），那么下列结论中：①abc＞0；②2a+b═0；③b2﹣4ac＞0；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；⑤方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为4．正确的个数为（　　）

A.2个B.3个C.4个D.5个

Answer 1

【答案】C

【解析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况和二次函数的最值进行推理即可．

解：∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

∵对称轴在y轴右侧，

∴b＞0，

∴abc＜0，①错误；

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴

∴2a+b＝0，②正确；

∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，③正确；

∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，2），

∴当m＞2时，ax2+bx+c﹣m＜0，

∴当m＞2时，一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，④正确；

由图象可知函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1有两个交点，与直线y＝﹣1有两个交点，

∴方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，

设函数y＝ax2+bx+c与直线y＝1两个交点的横坐标为x1，x2，函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1两个交点的横坐标为x3，x4

∵

∴x1+x2＝2，x3+x4＝2，

∴x1+x2+x3+x4＝4，

∴方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为4，⑤正确；

故选：C．