【题目】如图1,已知抛物线;C1:y=﹣(x+2)(x﹣m)(m>0)与x轴交于点B、C(点B在点C的左侧),与y轴交于点E.
(1)求点B、点C的坐标;
(2)当△BCE的面积为6时,若点G的坐标为(0,b),在抛物线C1的对称轴上是否存在点H,使得△BGH的周长最小,若存在,则求点H的坐标(用含b的式子表示);若不存在,则请说明理由;
(3)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)点B、C的坐标分别为:(﹣2,0)、(m,0);(2)存在,点H(1,b);(3)存在,m=2
【解析】
(1) ,令y=0,则x=﹣2或m,即可求解;
(2)点B关于函数对称轴的对称点为点C(m,0),连接CE交对称轴于点H,则点H为所求,即可求解;
(3)分△BEC∽△BCF、△BEC∽△FCB两种情况,分别求解即可.
解:(1),令y=0,则x=﹣2或m,
故点B、C的坐标分别为:(﹣2,0)、(m,0);
(2)存在,理由:
,令x=0,则y=2,故点E(0,2),
△BCE的面积为: ,解得:m=4,
则抛物线的对称轴为: ,
点B关于函数对称轴的对称点为点C(m,0),连接CE交对称轴于点H,则点H为所求,
将点C、E的坐标代入一次函数表达式并解得:
直线CE的表达式为: ,当x=1时, ,
故点H(1,b);
(3)∵OE=OB=2,故∠EBO=45°,
过点F作FT⊥x轴于点F;
①当△BEC∽△BCF时,
则BC2=BEBF,∠FBO=EBO=45°,
则直线BF的函数表达式为:y=﹣x﹣2,故点F(x,﹣x﹣2);
将点F的坐标代入抛物线表达式得:
解得:x=﹣2(舍去)或2m,
故点F(2m,﹣2m﹣2),
则
∵BC2=BEBF,
则 解得: (舍去负值),
故
②当△BEC∽△FCB时,
则BC2=BFEC,∠CBF=∠ECO,
则△BFT∽△COE,
则 ,则点
将点F的坐标代入抛物线表达式得:
解得:x=﹣2(舍去)或m+2;
则点
BC2=BFEC,则
化简得:m3+4m2+4m=m3+4m2+4m+16,
此方程无解;
综上,m=2.
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【题目】如图,在某一路段,规定汽车限速行驶,交通警察在此限速路段的道路上设置了监测区,其中点C、D为监测点,已知点C、D、B在同一直线上,且AC⊥BC,CD=400米,tan∠ADC=2,∠ABC=35°
(1)求道路AB段的长(结果精确到1米)
(2)如果道路AB的限速为60千米/时,一辆汽车通过AB段的时间为90秒,请你判断该车是否是超速,并说明理由;参考数据:sin35°≈0.5736,cos35°≈0.8192,tan35°≈0.7002
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【题目】为迎接2020年中考,某中学对全校九年级学生进行了一次数学期末模拟考试,并随机抽取了部分学生的测试成绩作为样本进行分析,绘制成了如下两幅不完整的统计图,请你根据统计图中提供的信息解答下列问题:
(1)在这次调查中,一共调查了多少名学生;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)若该中学九年级共有860人参加了这次数学考试,估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀?
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【题目】如图,在□ABCD中,按以下步骤作图:①以点A为圆心,AB的长为半径作弧,交AD于点F;②分别以点F,B为圆心大于FB的长为半径作弧,两弧在∠DAB内交于点G;③作射线AG,交边BC于点E,连接EF.若AB=5,BF=8,则四边形ABEF的面积为( )
A.12B.20C.24D.48
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(1,2),那么下列结论中:①abc>0;②2a+b═0;③b2﹣4ac>0;④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根,则m>2;⑤方程|ax2+bx+c|=1有四个根,则这四个根的和为4.正确的个数为( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
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【题目】已知函数,,探究函数图象和性质过程如下:
(1)下表是y与x的几组值,则解析式中的m= ,表格中的n= ;
x | ﹣5 | ﹣4 | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
y | 1 | 3 | 4 | 3 | n | 0 | … |
(2)在平面直角坐标系中描出表格中各点,并画出函数图象:
(3)若A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)为函数图象上的三个点,其中x2+x3>4且﹣1<x1<0<x2<2<x3<4,则y1、y2、y3之间的大小关系是 ;
(4)若直线y=k+1与该函数图象有且仅有一个交点,则k的取值范围为 .
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【题目】如图所示,已知点的横坐标为2,将点向右平移2个单位,再向下平移2个单位得到点,且、两点均在双曲线上.
(1)求反比例函数的解析式.(2)若直线于反比例函数的另一交点为,求的面积.
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【题目】综合与探究:
操作发现:如图1,在中,,以点为中心,把顺时针旋转,得到;再以点为中心,把逆时针旋转,得到.连接.则与的位置关系为平行;
探究证明:如图2,当是锐角三角形,时,将按照(1)中的方式,以点为中心,把顺时针旋转,得到;再以点为中心,把逆时针旋转,得到.连接,
①探究与的位置关系,写出你的探究结论,并加以证明;
②探究与的位置关系,写出你的探究结论,并加以证明.
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【题目】木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r.用角尺的较短边紧靠⊙O,角尺的顶点B(∠B=90°),并使较长边与⊙O相切于点C.
(1)如图,AB<r,较短边AB=8cm,读得BC长为12cm,则该圆的半径r为多少?
(2)如果AB=8cm,假设角尺的边BC足够长,若读得BC长为acm,则用含a的代数式表示r为 .
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