【题目】木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r.用角尺的较短边紧靠⊙O,角尺的顶点B(∠B=90°),并使较长边与⊙O相切于点C.
(1)如图,AB<r,较短边AB=8cm,读得BC长为12cm,则该圆的半径r为多少?
(2)如果AB=8cm,假设角尺的边BC足够长,若读得BC长为acm,则用含a的代数式表示r为 .
【答案】(1)13;(2)0<r≤8时,r=a;当r>8时,r=a 2+4
【解析】
(1)利用在Rt△AOD中,r2=(r﹣8)2+122,求出r即可.
(2)根据切线的性质,连接OC,则OC⊥BC,连接OA,过点A作AD⊥OC于点D,在Rt△OAD中用勾股定理计算求出圆的半径.
解:(1)如图1,连接OC、OA,作AD⊥OC,垂足为D.则OD=r﹣8
在Rt△AOD中,r2=(r﹣8)2+122
解得:r=13;
答:该圆的半径r为13;
(2)①如图2,易知,0<r≤8时,r=a;
②当r>8时,
如图1:连接OC,连接OA,过点A作AD⊥OC于点D,
∵BC与⊙O相切于点C,
∴OC⊥BC,
则四边形ABCD是矩形,即AD=BC,CD=AB.
在Rt△AOD中,OA2=OD2+AD2,
即:r2=(r﹣8)2+a2,
整理得:r=a2+4.
故答案为:0<r≤8时,r=a;当r>8时,r=a 2+4.
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【题目】如图1,已知抛物线;C1:y=﹣(x+2)(x﹣m)(m>0)与x轴交于点B、C(点B在点C的左侧),与y轴交于点E.
(1)求点B、点C的坐标;
(2)当△BCE的面积为6时,若点G的坐标为(0,b),在抛物线C1的对称轴上是否存在点H,使得△BGH的周长最小,若存在,则求点H的坐标(用含b的式子表示);若不存在,则请说明理由;
(3)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】对于平面上A、B两点,给出如下定义:以点A为中心,B为其中一个顶点的正方形称为点A、B的“领域”.
(1)已知点A的坐标为(﹣1,1),点B的坐标为(3,3),顶点A、B的“领域”的面积为 .
(2)若点A、B的“领域”的正方形的边与坐标轴平行或垂直,回答下列问题:
①已知点A的坐标为(2,0),若点A、B的“领域”的面积为16,点B在x轴上方,求B点坐标;
②已知点A的坐标为(2,m),若在直线l:y=﹣3x+2上存在点B,点A、B的“领域”的面积不超过16,直接写出m的取值范围.
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【题目】如图,一艘船以40km/h的速度沿既定航线由西向东航行,途中接到台风警报,某台风中心正以20km/h的速度由南向北移动,距台风中心200km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区.当这艘轮船接到台风警报时,它与台风中心的距离BC=500km,此时台风中心与轮船既定航线的最近距离BA=300km.
(1)如果这艘轮船不改变航向,经过9小时,轮船与台风中心相距多远?它此时是否受到台风影响?
(2)如果这艘轮船会受到台风影响,那么从接到警报开始,经过多长时间它就会进入台风影响区?
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【题目】某校为了解七、八年级学生英语听力训练情况(七、八年级学生人数相同),某周从这两个年级学生中分别随机抽查了30名同学,调查了他们周一至周五的听力训练情况,根据调查情况得到如下统计图表:
(1)填空:a= ;
(2)根据上述统计图表完成下表中的相关统计量:
年级 | 平均训练时间的中位数 | 参加英语听力训练人数的方差 |
七年级 | 24 | 34 |
八年级 |
| 14.4 |
(3)请你利用上述统计图表对七、八年级英语听力训练情况写出两条合理的评价;
(4)请你结合周一至周五英语听力训练人数统计表,估计该校七、八年级共480名学生中周一至周五平均每天有多少人进行英语听力训练.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(10,0),点C、D在以OA为直径的半圆上,点B在OA上,且四边形OCDB是菱形,则点C的坐标为_________.
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【题目】如图,反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象交于点A(﹣2,6)、点B(n,1).
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)点E为y轴上一个动点,若S△AEB=5,求点E的坐标.
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【题目】如图,△ABC三个定点坐标分别为A(﹣1,3),B(﹣1,1),C(﹣3,2).
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
(2)以原点O为位似中心,将△A1B1C1放大为原来的2倍,得到△A2B2C2,请在第三象限内画出△A2B2C2,并求出S△A1B1C1:S△A2B2C2的值.
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【题目】如图,二次函数的图像与轴交于、两点,与轴交于点,.点在函数图像上,轴,且,直线是抛物线的对称轴,是抛物线的顶点.
(1)求、的值;
(2)如图①,连接,线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上,求点的坐标;
(3)如图②,动点在线段上,过点作轴的垂线分别与交于点,与抛物线交于点.试问:抛物线上是否存在点,使得与的面积相等,且线段的长度最小?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由.
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