Question

【题目】如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG.

(1)填空：若∠BAF＝18°，则∠DAG＝______°.

(2)证明：△AFC∽△AGD；

(3)若＝，请求出的值.

Answer 1

【答案】(1)27；(2)证明见解析；(3)＝.

【解析】

(1)由四边形ABCD，AEFG是正方形，得到∠BAC＝∠GAF＝45°，于是得到∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，推出∠HAG＝∠BAF＝18°，由于∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，于是得到结论；

(2)由四边形ABCD，AEFG是正方形，推出＝＝，得＝，由于∠DAG＝∠CAF，得到△ADG∽△CAF，列比例式即可得到结果；

(3)设BF＝k，CF＝2k，则AB＝BC＝3k，根据勾股定理得到AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，由于∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，于是得到△AFH∽△ACF，得到比例式即可得到结论.

解：(1)∵四边形ABCD，AEFG是正方形，

∴∠BAC＝∠GAF＝45°，

∴∠BAF+∠FAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，

∴∠HAG＝∠BAF＝18°，

∵∠DAG+∠GAH＝∠DAC＝45°，

∴∠DAG＝45°﹣18°＝27°，

故答案为：27.

(2)∵四边形ABCD，AEFG是正方形，

∴＝，＝，

∴＝，

∵∠DAG+∠GAC＝∠FAC+∠GAC＝45°，

∴∠DAG＝∠CAF，

∴△AFC∽△AGD；

(3)∵＝，

设BF＝k，

∴CF＝2k，则AB＝BC＝3k，

∴AF＝＝＝k，AC＝AB＝3k，

∵四边形ABCD，AEFG是正方形，

∴∠AFH＝∠ACF，∠FAH＝∠CAF，

∴△AFH∽△ACF，

∴，

∴＝＝.