Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+4与y＝kx+4分别交x轴于点A、B，两直线交于y轴上同一点C，点D的坐标为(﹣，0)，点E是AC的中点，连接OE交CD于点F．

（1）求点F的坐标；

（2）若∠OCB＝∠ACD，求k的值；

（3）在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线1，点M是直线BC上的动点，点N是x轴上的动点，点P是直线l上的动点，使得以B，P，M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）F(﹣1，1)；（2）﹣2；（3）P的坐标为(﹣1，)或(﹣1，)或(﹣1，﹣6)

【解析】

（1）求出直线OE，直线CD的解析式，构建方程组即可解决问题．

（2）如图2中，将线段DC绕点D顺时针旋转90°得到DT，作直线CT交x轴于B．证明∠ACO＝∠DCB＝45°，即可推出∠ACD＝∠OCB，求出点T的坐标，利用待定系数法即可解决问题．

（3）如图3中，分三种情形：当四边形BN1P1M1是菱形时，当四边形BN2P2M2是菱形时，当四边形BP3N3M3是菱形时，分别求解即可解决问题．

解：（1）如图1中，

∵直线y＝x+4交x轴于A，交y轴于C，

∴A（﹣4，0），C（0，4），

∵AE＝EC，

∵E（﹣2，2），

∴直线OE的解析式为y＝﹣x，

∵

∴直线CD的解析式为y＝3x+4，

由，解得

∴F（﹣1，1）．

（2）如图2中，将线段DC绕点D顺时针旋转90°得到DT，作直线CT交x轴于B．

∵DC＝DT，∠CDT＝90°，

∴∠DCT＝45°，

∵OA＝OC，∠AOC＝90°，

∴∠ACO＝∠DCT＝45°，

∴∠ACD＝∠OCB，

∵

把代入y＝kx+4，得到k＝﹣2．

（3）如图3中，

当四边形BN1P1M1是菱形时，连接BP1交OC于K，作KH⊥BC于H．

∵∠KBO＝∠KBH，KO⊥OB，KH⊥BC，

∴KO＝KH，

∵BK＝BK，∠KOB＝∠KHB＝90°，

∴Rt△KBO≌Rt△KBH（HL），

∴BO＝BH＝2，设OK＝KH＝x，

∵

∴

在Rt△CHK中，CK2＝KH2+CH2，

∴

∴

∴直线BK的解析式为

当x＝﹣1时，

∴

当四边形BN2P2M2是菱形时，可得直线BP2的解析式为

当x＝﹣1时，

∴

当四边形BP3N3M3是菱形时，M3在直线x＝﹣1时

∴M3（﹣1，6），

∵P3与M3关于x轴对称，

∴P3（﹣1，﹣6）．

综上所述，满足条件的点P的坐标为或或（﹣1，﹣6）．