Question

【题目】若一条弧经过一个多边形相邻两边中点，并且该弧上所有点都在该多边形的内部或边上，则称该弧为此两边中点连线的EVA弧．例如，图1中，在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为DE的一条EVA弧．

（1）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D，E分别是BC，AC的中点，画出DE的最长的EVA弧，并直接写出此时的长；

（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．

①若t＝1，求DE的EVA弧所在圆的圆心P的纵坐标m的取值范围；

②若在△ABC中存在一条DE的EVA弧，使得所在圆的圆心P在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）图见解析，2π；（2）①m≤1或m≥2；②0＜t≤2

【解析】

（1）由三角函数值及等腰直角三角形性质可求得DE＝4，最长中内弧即以DE为直径的半圆，弧DE的长即以DE为直径的圆周长的一半；

（2）根据三角形中内弧定义可知，圆心一定在DE的中垂线上，①当t＝1时，要注意圆心P在DE上方的中垂线上均符合要求，在DE下方时必须AC与半径PE的夹角∠AEP满足90°≤∠AEP＜135°；

②根据题意，t的最大值即圆心P在AC上时求得的t值，即可求解．

解：（1）如图2，以DE为直径画弧，

∵∠C＝90°，AC＝BC＝4，

∴AB＝8，

∵D，E分别是BC，AC的中点，

∴DE＝AB＝4，

∵DE的最长的EVA弧，是以DE为直径的弧，

∴＝×4π＝2π；

（2）如图3，A（0，4），B（0，0），C（4t，0）（t＞0），

由垂径定理可知，圆心一定在线段DE的垂直平分线上，连接DE，作DE垂直平分线FP，作EG⊥AC交FP于G，

①当t＝1时，C（4，0），

∴D（0，2），E（2，2），F（1，2），

若圆心在线段DE上方时，

设P（1，m）由三角形中内弧定义可知，圆心在线段DE上方射线FP上均可，

∴m≥2，

当圆心在线段DE下方时，

∵OA＝OC，∠AOC＝90°

∴∠ACO＝45°，

∵DE∥OC

∴∠AED＝∠ACO＝45°

作EG⊥AC交直线FP于G，FG＝EF＝1，

根据三角形中内弧的定义可知，圆心在点G的下方（含点G）直线FP上时也符合要求；

∴m≤1，

综上所述，m≤1或m≥2．

②如图4，设圆心P在AC上，

∵P在DE中垂线上，

∴P为AE中点，作PM⊥OC于M，则PM＝3，

∴P（t，3），

∵DE∥BC

∴∠ADE＝∠AOB＝90°

∴AE＝ ，

∵PD＝PE，

∴∠AED＝∠PDE

∵∠AED+∠DAE＝∠PDE+∠ADP＝90°，

∴∠DAE＝∠ADP

∴AP＝PD＝PE＝ AE

由三角形中内弧定义知，PD≤PM

∴AE≤3，

∴AE≤6，即≤6，

解得：t≤ ，

∵t＞0

∴0＜t≤．

如图5，设圆心P在BC上，则P（t，0）

∴PD＝PE＝，

∵PC＝3t，CE＝AC＝，

由三角形中内弧定义知，∠PEC＜90°，

∴PE2+CE2≥PC2

∴，

∵t＞0

∴0＜t≤；

综上所述，t的取值范围为：0＜t≤．