Question

【题目】如图，正方形ABCD中，以AD为底边作等腰△ADE，将△ADE沿DE折叠，点A落到点F处，连接EF刚好经过点C，再连接AF，分别交DE于点G，交CD于点H，下列结论：①△ABM≌△DCN；②∠DAF=30°；③△AEF是等腰直角三角形；④EC=CF；⑤，其中正确的有__________.

Answer 1

【答案】①③⑤

【解析】

①：由正方形ABCD的性质以及等腰△EAD的性质证明△ABM≌△DCN即可；②③：连接AC，以D为圆心，DA的长度为半径画圆，不难证明圆D过点A、E、F，由圆周角定理求出∠AFE的度数，进而求出∠FAE的度数及∠AEF的度数，从而证明出△AEF为等腰直角三角形，由折叠可得出∠AED的度数，由等腰△AED的性质求出∠DAE的度数即可求出∠DAF的度数；④：作CK⊥AF交AF于点K，不难求出∠KAC=∠CAE=22.5°，由角平分线的性质可得CK=CE，由直角三角形的性质可得CF＞KC，所以CF＞CE；⑤：求出∠FDC=∠ACD=45°，证明出DF∥AC，从而得出S△DAF=S△DCF，进而得出S△DAH=S△CFH.

∵正方形ABCD，

∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=∠B=∠DCN=90°，

∵等腰△ADE，

∴∠EAD=∠EDA，

∴∠BAM=∠CDN，

∵在Rt△ABM与Rt△DCN中，

，

∴△ABM≌△DCN，

故结论①正确；

连接AC，以D为圆心，DA的长度为半径画圆，

由翻折可得AD=DF，AE=EF，

∴圆D经过点A、C、F，

∴∠AFC=45°，

∴∠AFC=∠EAF=45°，

∴∠AEF=90°，

∴∠AED=∠DEF=45°，

∴∠EAD=67.5°，

∴∠DAF=22.5°，

故结论②错误；

∵AE=EF，∠AEF=90°，

∴△AEF是等腰直角三角形，

故结论③正确；

作CK⊥AF交AF于点K，

∵∠EAD=62.5°，∠FAD=22.5°，

∴∠BAM=∠CDN=22.5°，∠KAC=22.5°，

∴∠EAC=22.5°，

∴∠EAC=∠KAC，

∴KC=CE，

∵在Rt△FKC中，FC＞KC，

∴FC＞CE，

故结论④错误；

∵∠DAF=∠DFA=22.5°，

∴∠ADF=135°，

∴∠FDC=45°，

∴∠FDC=∠DCA，

∴AC∥DF，

∴S△DAF=S△DCF，

∴S△DAH=S△CFH，

故结论⑤正确.

正确的结论有①③⑤.

故答案为①③⑤.