Question

11．如图1，四边形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=a，∠A=60°．取AB的中点A₁，连接A₁C，再分别取A₁C，BC的中点D₁，C₁，连接D₁C₁，得到四边形A₁BC₁D₁．如图2，同样方法操作得到四边形A₂BC₂D₂，如图3，…，如此进行下去，则四边形A_nBC_nD_n的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{{4}^{n+1}}$a²．

Answer 1

分析 首先求得梯形ABCD的面积，然后证明梯形AnBCnDn∽梯形A_n-1BC_n-1D_n-1，然后根据相似形面积的比等于相似比的平方即可求解．

解答 方法一：
解：作DE⊥AB于点E．
在直角△ADE中，DE=AD•sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$a，
则AB=2AD=2a，S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$（AB+CD）•DE=$\frac{1}{2}$（2a+a）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$a²．
如图2，∵D₁、C₁是A₁C和BC的中点，
∴D₁C₁∥A₁B，且C₁D₁=$\frac{1}{2}$A₁B，
∵AA₁=CD，AA₁∥CD，
∴四边形AA₁CD是平行四边形，
∴AD∥A₁C，AD=A₁C=a，
∴∠A=∠CA₁B，
又∵∠B=∠B，
∴∠D=∠A₁D₁C₁，∠DCB=∠D₁C₁B，
$\frac{{D}_{1}{C}_{1}}{DC}=\frac{{A}_{1}{D}_{1}}{AD}=\frac{B{C}_{1}}{BC}=\frac{{A}_{1}B}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴梯形A₁BC₁D₁∽梯形ABCD，且相似比是$\frac{1}{2}$．
同理，梯形AnBCnDn∽梯形A_n-1BC_n-1D_n-1，相似比是$\frac{1}{2}$．
则四边形A_nBC_nD_n的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{{4}^{n+1}}$a²．
故答案是：$\frac{3\sqrt{3}}{{4}^{n+1}}$a²．

方法二：
∵ABCD∽A1BC1D1，
∴$\frac{{S}_{A{1}B{C}_{1}{D}_{1}}}{{S}_{ABCD}}=（\frac{{C}_{1}{D}_{1}}{CD}）^{2}=\frac{1}{4}$，
∴S_ABCD=$\frac{3\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
∴S_A1BC1D1=$\frac{3\sqrt{3}}{16}{a}^{2}$，q=$\frac{1}{4}$，
∴S_AnBCnDn=$\frac{3\sqrt{3}}{16}{a}^{2}×（\frac{1}{4}）^{n-1}$=$\frac{3\sqrt{3}}{{4}^{n+1}}{a}^{2}$．

点评 本题考查了相似多边形的判定与性质，正确证明梯形AnBCnDn∽梯形A_n-1BC_n-1D_n-1是关键．