Question

19．我市一家电子计算器专卖店的某种计算机每个进价13元，零售价20元，多买优惠；若顾客一次购买的数量x（个）与售出的单价m（元/个）的关系如图所示，售出的最低价为每个16元
（1）写出当10＜x≤50时，售出的单价m（元/个）与顾客一次购买的数量x（个）之间的函数关系式；
（2）写出该专卖店一次销售这种计算器x个时，所获利润y（元）与x（个）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若店主一次卖的个数在10至50个之间，问一次卖多少个获得的利润最大？其最大利润为多少？

Answer 1

分析 （1）把点（10，20），（50，16）分别代入一次函数y=kx+b（k≠0），列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组可以求得它们的值；
（2）根据购买的数量的不同有不同的优惠方法，故本题时一个分段函数，注意自变量的取值范围；
（3）列出有关购买只数的二次函数求其最大值即可，可以采用配方法求其最值，也可以用公式求其最值．

解答 解：（1）设y=kx+b（k≠0），把点（10，20），（50，16）分别代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=20}\\{50k+b=16}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{10}}\\{b=21}\end{array}\right.$，
所以该函数解析式是：y=-$\frac{1}{10}$x+21（10＜x≤50）；

（2）当0＜x≤10时，y=20x-13x=7x，即y=7x．
当10＜x≤50时，（20-13）x-0.1（x-10）x=-$\frac{1}{10}$x²+8x．即y=-$\frac{1}{10}$x²+8x．
当x＞50时，y=16x-13x=3x，即y=3x．
综上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{7x（0＜x≤10）}\\{-\frac{1}{10}{x}^{2}+8x（10＜x≤50）}\\{3x（x＞50）}\end{array}\right.$．

（3）将y=-$\frac{1}{10}$x²+8x配方，得
y=-$\frac{1}{10}$（x-40）2+160，
∴店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元．（也可用公式法求得）

点评 本题考查了一次函数的应用，特别是题目中的分段函数，一定要注意自变量的取值范围．