Question

14．如图，已知抛物线y=ax²-2ax+3（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OB=3OA．
（1）此抛物线的对称轴为直线x=1；并求出OA的长；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）此二次函数x轴上方的图象上有一点E到A、B两点距离相等，求出△ABE的面积．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$，求出对称轴，根据根与系数的关系和OB=3OA求出OA的长；
（2）求出点A的坐标，根据坐标与函数的关系求出抛物线的解析式；
（3）根据题意确定点E的坐标求出△ABE的面积．

解答 解：（1）对称轴为直线x=-$\frac{-2a}{2a}$=1，
∴对称轴为直线x=1，
设OA=m，则OB=3m，
则-m+3m=2，
解得，m=1，
∴OA=1；
（2）∵OA=1，
∴点A（-1，0），
把点A（-1，0）代入y=ax²-2ax+3，
解得a=-1，
抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3；
（3）二次函数图象上到A、B两点距离相等点E是抛物线的顶点，
$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=4，
则△ABE的面积为：$\frac{1}{2}$×4×4=8．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点的求法，掌握二次函数的性质是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．