Question

已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB垂足为D，BE⊥AC垂足为E，连接DE，点G、F分别是BC、DE的中点．
求证：GF⊥DE．

Answer 1

证明：连接DG、EG．
∵CD⊥AB，点G是BC的中点，
∴在Rt△BCD中，DG=BC（直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半）．（2分）
同理，EG=BC．（2分）
∴DG=EG（等量代换）．（1分）
∵F是DE的中点，
∴GF⊥DE．（2分）
分析：作辅助线（连接DG、EG）构建Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，然后根据斜边上的中线等于斜边的一半求得DG=EG=BC，从而判定△DEG是等腰三角形；最后根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知GF⊥DE．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线、等腰三角形的判定与性质．熟练运用等腰直角三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．