Question

【题目】一个边长为4的等边三角形ABC与⊙O等高，如图放置，⊙O与BC相切于点C，⊙O与AC相交于点E．
（1）求CE的长；
（2）求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，

∵三角形ABC为等边三角形，且AB=BC=4，

∴BD= BC=2，∠ACB=60°，

∴AD= = =2 ，

∵等边三角形ABC与⊙O等高，且⊙O与BC相切于点C，

∴OC= AD= ，∠OCD=90°，

过点O作OF⊥CE于点F，

∴∠OCF=∠OCD﹣∠ACB=30°，

∴CF=OCcos∠OCF= × = ，

则CE=2CF=3；

（2）解：由（1）知OF⊥CE，∠OCF=30°，

∴∠COF=60°，OF=OCsin∠OCF= ，

∴∠COE=120°，

则S阴影=S扇形COE﹣S△COE

= ﹣ ×3×

=π﹣ ．

【解析】（1）作AD⊥BC，由等腰三角形的性质可得BD=2，根据勾股定理得出AD=2 ，结合等边三角形ABC与⊙O等高且⊙O与BC相切于点C得OC= 、∠OCD=90°，作OF⊥CE于点F，从而知∠OCF=30°，利用三角函数求得CF的长，最后根据勾股定理得CE=2CF；（2）由（1）知OF⊥CE、∠OCF=30°从而得∠COF=60°、OF=OCsin∠OCF= ，继而知∠COE=120°，根据S阴影=S扇形COE﹣S△COE可得答案．
【考点精析】本题主要考查了等边三角形的性质和切线的性质定理的相关知识点，需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．