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【题目】(1)操作发现:如图①,D是等边ABC的边BA上一动点(D与点B不重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边DCF,连接AF,你能发现AFBD之间的数量关系吗?并证明你发现的结论;

(2)类比猜想:如图②,当动点D运动至等边ABCBA的延长线时,其他作法与(1)相同,猜想AFBD(1)中的结论是否仍然成立?

(3)深入探究:Ⅰ.如图③,当动点D在等边ABCBA上运动时(DB不重合),连接DC,以DC为边在BC上方和下方分别作等边DCF和等边DCF′,连接AF,BF′,探究AF,BF′AB有何数量关系?并证明你的探究的结论;Ⅱ.如图④,当动点D在等边ABC的边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?若不成立,是否有新的结论?并证明你得出的结论.

【答案】(1)AF=BD;证明见解析;(2)成立,证明见解析;(3)Ⅰ.AF+BF′=AB;证明见解析;Ⅱ.Ⅰ中的结论不成立.新的结论是AF=AB+BF′;证明见解析.

【解析】解:(1AF=BD。证明如下:

∵△ABC是等边三角形(已知),∴BC=AC∠BCA=60°(等边三角形的性质)。

同理知,DC=CF∠DCF=60°

∴∠BCA﹣∠DCA=∠DCF﹣DCA,即∠BCD=∠ACF

△BCD△ACF中,∵BC=AC∠BCD=∠ACFDC=CF

∴△BCD≌△ACFSAS)。∴BD=AF(全等三角形的对应边相等)。

2AF=BD仍然成立。

3AF+BF′=AB。证明如下:

由(1)知,△BCD≌△ACFSAS),则BD=AF

同理△BCF′≌△ACDSAS),则BF′=AD

∴AF+BF′=BD+AD=AB

中的结论不成立,新的结论是AF=AB+BF′。证明如下:

△BCF′△ACD中,∵BC=AC∠BC F′=∠ACDF′C=DC

∴△BCF′≌△ACDSAS)。∴BF′=AD(全等三角形的对应边相等)。

又由(2)知,AF=BD∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′,即AF=AB+BF′

1)根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质,利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△BCD≌△ACF;然后由全等三角形的对应边相等知AF=BD

2)通过证明△BCD≌△ACF,即可证明AF=BD

3AF+BF′=AB;利用全等三角形△BCD≌△ACFSAS)的对应边BD=AF;同理△BCF′≌△ACDSAS),则BF′=AD,所以AF+BF′=AB

中的结论不成立,新的结论是AF=AB+BF′:通过证明△BCF′≌△ACDSAS),则BF′=AD(全等三角形的对应边相等),再结合(2)中的结论即可证得AF=AB+BF′

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