Question

【题目】△ABC中，AD是BC边上的高，BD=3，CD=1，AD=2，P、Q、R分别是BC、AB、AC边上的动点，则△PQR周长的最小值为 ．

Answer 1

【答案】.

【解析】

试题分析：如图1中，作P点关于AB的对称点P′，作P点关于AC的对称点P″，连接P′P″，与AB交于点Q′，与AC交于点R′，连接PP′交AB于M，连接PP″交AC于N，此时△PQ′R′的周长最小，这个最小值=P′P″，∵PM=MP′，PN=NP″，∴P′P″=2MN，∴当MN最小时P′P″最小．如图2中，∵∠AMP=∠ANP=90°，∴A、M、P、N四点共圆，线段AP就是圆的直径，MN是弦，∵∠MAN是定值，∴直径AP最小时，弦MN最小，∴当点P与点D重合时，PA最小，此时MN最小．如图3中，∵在RT△ABD中，∠ADB=90°，AD=2，DB=3，∴AB=，在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2，CD=1，∴AC=，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴ACDN=DCAD，∴DN=，AN=，∵∠MAD=∠DAB，∠AMD=∠ADB，∴△AMD∽△ADB，∴，∴=AMAB，同理=ANAC，∴AMAB=ANAC，∴，∵∠MAN=∠CAB，∴△AMN∽△ACB，∴，∴，∴MN=，∴△PQR周长的最小值=P′P″=2MN=．

故答案为：．