Question

如图，在平面直角坐标系中，已知S_△ABO=8，OA=OB，BC=12，点P的坐标是（a，6）．
（1）求△ABC三个顶点的坐标；                                 
（2）连接PA、PB，并用含字母a的式子表示△PAB的面积；
（3）是否存在点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积？如果存在，求出点P的坐标．

Answer 1

考点：坐标与图形性质,三角形的面积

专题：计算题

分析：（1）根据三角形面积公式得到

1

2

•OA²=8，解得OA=4，则OB=OA=4，OC=BC-OB=8，然后根据坐标轴上点的坐标特征写出△ABC三个顶点的坐标；
（2）分类讨论：当点P在第一象限，即a＞0，作PH⊥x轴于H，如图1，利用S_△PAB=S_△AOB+S_梯形AOHP-S_△PBH求解；
当点P在第二象限，即a＜0，作PH⊥y轴于H，如图2，利用S_△PAB=S_梯形OHPB-S_△PAH-S_△OAB求解；
（3）先计算出S_△ABC=24，再根据（2）中的分类得到2a-4=24或4-2a=24，然后分别求出a的值，从而确定P点坐标．

解答：解：（1）∵S_△ABO=

1

2

•OA•OB，
而OA=OB，
∴

1

2

•OA²=8，解得OA=4，
∴OB=OA=4，
∴OC=BC-OB=12-4=8，
∴A（0，4），B（-4，0），C（8，0）；
（2）当点P在第一象限，即a＞0，作PH⊥x轴于H，如图1，
S_△PAB=S_△AOB+S_梯形AOHP-S_△PBH=8+

4+6

2

•a-

1

2

•6•（a+4）=2a-4；
当点P在第二象限，即a＜0，作PH⊥y轴于H，如图2，
S_△PAB=S_梯形OHPB-S_△PAH-S_△OAB=

4-a

2

•6-

1

2

•（6-4）•a-8=4-2a；
（3）存在．
S_△ABC=

1

2

•4•12=24，
当P（a，6）在第一象限，则2a-4=24，解得a=14，此时P点坐标为（14，6）；
当P（a，6）在第二象限，则4-2a=24，解得a=-10，此时P点坐标为（-10，6），
综上所述，点P的坐标为（-10，6）或（14，6）．

点评：本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系；记住三角形面积公式．