Question

【题目】（1）（问题发现）

如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．

填空：①线段CF与DG的数量关系为　 　；

②直线CF与DG所夹锐角的度数为　 　．

（2）（拓展探究）

如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明．

（3（解决问题）

如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为　 　（直接写出结果）．

Answer 1

【答案】（1）①CF＝DG；②45°；（2）成立，证明详见解析；（3）．

【解析】

（1）【问题发现】连接AF．易证A，F，C三点共线．易知AF＝AG．AC＝AD，推出CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．

（2）【拓展探究】连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．证明△CAF∽△DAG即可解决问题．

（3）【解决问题】证明△BAD≌△CAE，推出∠ACE＝∠ABC＝45°，可得∠BCE＝90°，推出点E的运动轨迹是在射线OCE上，当OE⊥CE时，OE的长最短．

解：（1）【问题发现】如图①中，①线段CF与DG的数量关系为CF＝DG；

②直线CF与DG所夹锐角的度数为45°．

理由：如图①中，连接AF．易证A，F，C三点共线．

∵AF＝AG．AC＝AD，

∴CF＝AC﹣AF＝（AD﹣AG）＝DG．

故答案为CF＝DG，45°．

（2）【拓展探究】结论不变．

理由：连接AC，AF，延长CF交DG的延长线于点K，AG交FK于点O．

∵∠CAD＝∠FAG＝45°，

∴∠CAF＝∠DAG，

∵AC＝AD，AF＝AG，

∴，

∴△CAF∽△DAG，

∴，∠AFC＝∠AGD，

∴CF＝DG，∠AFO＝∠OGK，

∵∠AOF＝∠GOK，

∴∠K＝∠FAO＝45°．

（3）【解决问题】如图3中，连接EC．

∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝45°，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ACE＝∠ABC＝45°，

∴∠BCE＝90°，

∴点E的运动轨迹是在射线CE上，当OE⊥CE时，OE的长最短，易知OE的最小值为，

故答案为.