【题目】在△ABC中,CA=CB,在△AED中, DA=DE,点D、E分别在CA、AB上.
(1)如图①,若∠ACB=∠ADE=90°,则CD与BE的数量关系是 ;
(2)若∠ACB=∠ADE=120°,将△AED绕点A旋转至如图②所示的位置,求CD与BE的数量关系;
(3)若∠ACB=∠ADE=2α(0°< α < 90°),将△AED绕点A旋转至如图③所示的位置,探究线段CD与BE的数量关系,并加以证明(用含α的式子表示).
【答案】(1)BE=CD;(2)BE=CD;(3)BE=2CD·sinα,证明见解析.
【解析】试题分析:(1)由已知,△ADE和△ACB都是等腰直角三角形,所以有AE=AD,AB=AC,从而有,即BE=CD.
(2)如图,分别过点C、D作CM⊥AB于点M,DN⊥AE于点N,
∵CA=CB,DA=DE,∠ACB=∠ADE=120°,
∴∠CAB=∠DAE,∠ACM=∠ADN="60°" ,AM=AB,AN=AE.
∴∠CAD=∠BAE.
在Rt△ACM和Rt△ADN中,sin∠ACM==,sin∠ADN==,
∴.∴.
又∵∠CAD=∠BAE,∴△BAE∽△CAD.∴.∴BE=CD.
(3)根据等腰三角形的性质和锐角三角函数定义求得,再由△BAE∽△CAD得出,从而得出结论.
(1)BE=CD.
(2)BE=CD.
(3)BE=2CD·sinα.证明如下:
如图,分别过点C、D作CM⊥AB于点M,DN⊥AE于点N,
∵CA=CB,DA=DE,∠ACB=∠ADE="2α" ,
∴∠CAB=∠DAE,∠ACM=∠ADN="α" ,AM=AB,AN=AE.
∴∠CAD=∠BAE.
在Rt△ACM和Rt△ADN中,sin∠ACM=,sin∠ADN=,
∴.∴.
又∵∠CAD=∠BAE,∴△BAE∽△CAD.∴.
∴BE=2DC·sinα.
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【题目】如图一,矩形ABCD中,AB=5cm,BC=4cm,E是BC上一点,将△CDE沿DE折叠,使点C落在AB上一点F处,连结DF、EF.
(1)求BE的长度;
(2)设点P、H、G分别在线段DE、BC、BA上,当BP=CP且四边形BGPH为矩形时,请说明矩形BGPH的长宽比为2:1,并求PE的长.(如图二)
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【题目】某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表:
x (元) | 15 | 20 | 25 | … |
y (件) | 25 | 20 | 15 | … |
若日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)求销售价定为30元时,每日的销售利润.
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【题目】如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分,这点叫做这条折线的“折中点”.如图,点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”,请解答以下问题:
(1)当AC>BC时,点D在线段 上; 当AC=BC时,点D与 重合;当AC<BC时,点D在线段 上;
(2)若AC=18cm,BC=10cm,若∠ACB=90°,有一动点P从C点出发,在线段CB上向点B运动,速度为2cm/s, 设运动时间是t(s), 求当t为何值,三角形PCD 的面积为10?
(3)若E为线段AC中点,EC=8cm,CD=6cm,求CB的长度.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B,且A点的坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,1)
(1)求抛物线的解析式,并求出点B坐标;
(2)过点B作BD∥CA交抛物线于点D,连接BC、CA、AD,求四边形ABCD的周长;(结果保留根号)
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在点P,过点P作PE垂直于x轴,垂足为点E,使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似?若存在请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
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