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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx轴交于点AB,且A点的坐标为(10),与y轴交于点C01

1)求抛物线的解析式,并求出点B坐标;

2)过点BBD∥CA交抛物线于点D,连接BCCAAD,求四边形ABCD的周长;(结果保留根号

3)在x轴上方的抛物线上是否存在点P,过点PPE垂直于x轴,垂足为点E,使以BPE为顶点的三角形与△CBD相似?若存在请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1y=-x2+1B-10).(25+,4(3)点P的坐标为().

【解析】试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式,点B坐标可由对称性质得到,或令y=0,由解析式得到;

2)关键是求出点D的坐标,然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度;

3)本问为存在型问题.可以先假设存在,然后按照题意条件求点P的坐标,如果能求出则点P存在,否则不存在.注意三角形相似有两种情形,需要分类讨论.

试题解析:(1A10)和点C01)在抛物线y=ax2+b上,

解得:a=-1b=1

抛物线的解析式为:y=-x2+1

抛物线的对称轴为y轴,则点B与点A10)关于y轴对称,

∴B-10).

2)设过点A10),C01)的直线解析式为y=kx+b,可得:

解得k=-1b=1∴y=-x+1

∵BD∥CA

可设直线BD的解析式为y=-x+n

B-10)在直线BD上,∴0=1+n,得n=-1

直线BD的解析式为:y=-x-1

y=-x-1代入抛物线的解析式,得:-x-1=-x2+1,解得:x1=2x2=-1

∵B点横坐标为-1,则D点横坐标为2

D点纵坐标为y=-2-1=-3

∴D点坐标为(2-3).

如图所示,过点DDN⊥x轴于点N,则DN=3AN=1BN=3

RtBDN中,BN=DN=3,由勾股定理得:BD=3

RtADN中,DN=3AN=1,由勾股定理得:AD=

OA=OB=OC=1OCAB,由勾股定理得:AC=BC=

四边形ABCD的周长为:AC+BC+BD+AD=++3+=5+

∵AB=2OC=1DN=3

四边形ABCD的面积为:

3)假设存在这样的点P,则△BPE△CBD相似有两种情形:(I)若△EPB∽△BDC,如图所示,

则有

PE=3BE

OE=mm0),则E-m0),BE=1-mPE=3BE=3-3m

P的坐标为(-m3-3m).

P在抛物线y=-x2+1上,

∴3-3m=--m2+1,解得m=1m=2

m=1时,点E与点B重合,故舍去;当m=2时,点EOB左侧,点Px轴下方,不符合题意,故舍去.

因此,此种情况不存在;

II)若△EBP∽△BDC,如图所示,

则有

∴BE=3PE

OE=mm0),则Em0),BE=1+mPE=BE=1+m=+m

P的坐标为(m+m).

P在抛物线y=-x2+1上,

+m=-m2+1,解得m=-1m=

m0,故m=-1舍去,m=

P的纵坐标为: +m=+×=

P的坐标为().

综上所述,存在点P,使以BPE为顶点的三角形与CBD相似,点P的坐标为().

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