Question

【题目】如图一，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=4cm，E是BC上一点，将△CDE沿DE折叠，使点C落在AB上一点F处，连结DF、EF．
（1）求BE的长度；
（2）设点P、H、G分别在线段DE、BC、BA上，当BP=CP且四边形BGPH为矩形时，请说明矩形BGPH的长宽比为2：1，并求PE的长．（如图二）

Answer 1

【答案】
（1）解：如图一，

在矩形ABCD中，AD=BC=4，CD=AB=5，∠A=90°，

由折叠可得：DF=DC=5，CE=CF，

∴直角三角形ADF中，AF= =3，

∴BF=5=3=2，

设BE=x，则CE=FE=4﹣x，

在Rt△BEF中，22+x2=（4﹣x）2，

解得x=1.5，

即BE=1.5

（2）解：如图二，当BP=CP，且四边形BGPH为矩形时，点P在BC的垂直平分线上，

即PH垂直平分BC，

∴BH=CH= BC=2，①

又∵BE=1.5，

∴EH=0.5，EC=2.5

∵PH∥DC，

∴ = ，即 =

解得PH=1，②

∴由①②得：矩形BGPH的长宽比为2：1，

在Rt△PEH中，PE= = =

【解析】（1）先根据矩形性质以及折叠变换，运用勾股定理求得AF、BF的长，再设BE=x，在Rt△BEF中运用勾股定理列出方程，求得x的值．（2）先判断PH垂直平分BC，求得矩形中BH的长，再根据平行线分线段成比例定理，求得PH的长，进而得出矩形BGPH的长宽比为2：1，最后根据勾股定理求得PE的长．
【考点精析】利用勾股定理的概念和矩形的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．