【题目】已知:如图一,抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线y=x-2经过A、C两点,且AB=2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移,且分别交y轴、线段BC于点E,D,同时动点P从点B出发,沿BO方向以每秒2个单位速度运动,(如图2);当点P运动到原点O时,直线DE与点P都停止运动,连DP,若点P运动时间为t秒;设s=,当t为何值时,s有最小值,并求出最小值.
(3)在(2)的条件下,是否存在t的值,使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似;若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y="-1/4" x2+3/2 x-2(2)1(3)当t="2" /3 或t="10/" 7 时,以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似,证明见解析
【解析】试题分析:(1)首先根据直线AC的解析式确定点A、C的坐标,已知AB的长,进一步能得到点B的坐标;然后由待定系数法确定抛物线的解析式;(2)根据所给的s表达式,要解答该题就必须知道ED、OP的长;BP、CE长由计算可知,那么由OP=OB﹣BP求得OP长,由∠CED的三角函数值可得到ED的长,再代入s的表达式中可得到关于s、t的函数关系式,结合函数的性质即可得到s的最小值;(3)首先求出BP、BD的长,若以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似,已知的条件是公共角∠OBC,那么必须满足的条件是夹公共角的两组对应边成比例,分两种情况讨论即可.
试题解析:(1)由直线:y=x﹣2知:A(2,0)、C(0,﹣2);∵AB=2,∴OB=OA+AB=4,即B(4,0).设抛物线的解析式为:y=a(x﹣2)(x﹣4),代入C(0,﹣2),得:a(0﹣2)(0﹣4)=﹣2,解得 a=﹣,∴抛物线的解析式:y=﹣(x﹣2)(x﹣4)=﹣x2+x﹣2;(2)在Rt△OBC中,OB=4,OC=2,则tan∠OCB=2;∵CE=t,∴DE=2t,而OP=OB﹣BP=4﹣2t;
∴s===(0<t<2),∴当t=1时,s有最小值,且最小值为1.
(3)在Rt△OBC中,OB=4,OC=2,则BC=2;在Rt△CED中,CE=t,ED=2t,则CD=t;
∴BD=BC﹣CD=2﹣t;若以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似,已知∠OBC=∠PBD,则有两种情况:①=,解得 t=;②=,解得 t=;综上所述,当t=或时,以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似.
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【题目】如图,A,B两点在数轴上表示的数分别为a,b,且点A在点B的左边,=10,a+b=80,ab<0.
(1)求出a,b的值;
(2)现有一只电子蚂蚁P从点A出发,以3个单位长度/秒的速度向右运动,同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发,以2个单位长度/秒的速度向左运动,经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相遇?相遇的点表示的数是多少?
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【题目】小慧根据学习函数的经验,对函数y=|x﹣1|的图象与性质进行了探究.下面是小慧的探究过程,请补充完成:
(1)函数y=|x﹣1|的自变量x的取值范围是 ;
(2)列表,找出y与x的几组对应值.
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | b | 1 | 0 | 1 | 2 | … |
其中,b= ;
(3)在平面直角坐标系xOy中,描出以上表中各对对应值为坐标的点,并画出该函数的图象;
(4)写出该函数的一条性质: .
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【题目】抛物线经过A,B,C三点.
(1)求抛物线的解析式。
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
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【题目】如图,△ABC中,∠B=90°,tan∠BAC=,半径为2的⊙O从点A开始(图1),沿AB向右滚动,滚动时始终与AB相切(切点为D);当圆心O落在AC上时滚动停止,此时⊙O与BC相切于点E(图2).作OG⊥AC于点G.
(1)利用图2,求cos∠BAC的值;
(2)当点D与点A重合时(如图1),求OG;
(3)如图3,在⊙O滚动过程中,设AD=x,请用含x的代数式表示OG,并写出x的取值范围.
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【题目】①若,则;②整数和分数统称为有理数;③绝对值等于它本身的整数是0;④是二次三项式;⑤几个有理数相乘,当负因数的个数是奇数时,积一定为负数,其中判断正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】已知四边形ABCD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,∠EAF的两边分别与射线CB,DC相交于点E,F,且∠EAF=60°.
(1)如图1,当点E是线段CB的中点时,直接写出线段AE,EF,AF之间的数量关系;
(2)如图2,当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合),求证:BE=CF;
(3)如图3,当点E在线段CB的延长线上,且∠EAB=15°时,求点F到BC的距离.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,E、 F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线.过点有作AG∥DB交CB的延长线于点G.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若∠G=90° ,求证:四边形DEBF是菱形.
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