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【题目】已知:如图一,抛物线y=ax2+bx+cx轴正半轴交于AB两点,与y轴交于点C,直线y=x-2经过AC两点,且AB=2

1)求抛物线的解析式;

2)若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移,且分别交y轴、线段BC于点ED,同时动点P从点B出发,沿BO方向以每秒2个单位速度运动,(如图2);当点P运动到原点O时,直线DE与点P都停止运动,连DP,若点P运动时间为t秒;设s=,当t为何值时,s有最小值,并求出最小值.

3)在(2)的条件下,是否存在t的值,使以PBD为顶点的三角形与△ABC相似;若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1y="-1/4" x2+3/2 x-2213)当t="2" /3 t="10/" 7 时,以PBD为顶点的三角形与△ABC相似,证明见解析

【解析】试题分析:(1)首先根据直线AC的解析式确定点AC的坐标,已知AB的长,进一步能得到点B的坐标;然后由待定系数法确定抛物线的解析式;(2)根据所给的s表达式,要解答该题就必须知道EDOP的长;BPCE长由计算可知,那么由OP=OB﹣BP求得OP长,由∠CED的三角函数值可得到ED的长,再代入s的表达式中可得到关于st的函数关系式,结合函数的性质即可得到s的最小值;(3)首先求出BPBD的长,若以PBD为顶点的三角形与△ABC相似,已知的条件是公共角∠OBC,那么必须满足的条件是夹公共角的两组对应边成比例,分两种情况讨论即可.

试题解析:(1)由直线:y=x﹣2知:A20)、C0﹣2);∵AB=2∴OB=OA+AB=4,即B40).设抛物线的解析式为:y=ax﹣2)(x﹣4),代入C0﹣2),得:a0﹣2)(0﹣4=﹣2,解得 a=﹣抛物线的解析式:y=﹣x﹣2)(x﹣4=﹣x2+x﹣2;(2)在Rt△OBC中,OB=4OC=2,则tan∠OCB=2∵CE=t∴DE=2t,而OP=OB﹣BP=4﹣2t

∴s===0t2),t=1时,s有最小值,且最小值为1

3)在Rt△OBC中,OB=4OC=2,则BC=2;在Rt△CED中,CE=tED=2t,则CD=t

∴BD=BC﹣CD=2t;若以PBD为顶点的三角形与△ABC相似,已知∠OBC=∠PBD,则有两种情况:=,解得 t==,解得 t=;综上所述,当t=时,以PBD为顶点的三角形与△ABC相似.

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x

﹣1

0

1

2

3

y

b

1

0

1

2

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(3)在平面直角坐标系xOy中,描出以上表中各对对应值为坐标的点,并画出该函数的图象

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(2)当点D与点A重合时(如图1),求OG;

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