【题目】如图,在平行四边形ABCD中,E、 F分别为边AB、CD的中点,BD是对角线.过点有作AG∥DB交CB的延长线于点G.
(1)求证:△ADE≌△CBF;
(2)若∠G=90° ,求证:四边形DEBF是菱形.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据已知条件证明AE=CF,从而根据SAS可证明两三角形全等;
(2)先证明DE=BE,再根据邻边相等的平行四边形是菱形,从而得出结论.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C,
∵点E、F分别是AB、CD的中点,
∴AE=AB,CF=CD,
∴AE=CF,
在△ADE和△CBF中,
∵,
∴△ADE≌△CBF(SAS);
(2)∵∠G=90°,AG∥BD,AD∥BG,
∴四边形AGBD是矩形,
∴∠ADB=90°,
在Rt△ADB中
∵E为AB的中点,
∴AE=BE=DE,
∵DF∥BE,DF=BE,
∴四边形DEBF是平行四边形,
∴四边形DEBF是菱形.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+(k﹣5)x+1﹣k=0(其中k为常数).
(1)求证无论k为何值,方程总有两个不相等实数根;
(2)已知函数y=x2+(k﹣5)x+1﹣k的图象不经过第三象限,求k的取值范围;
(3)若原方程的一个根大于3,另一个根小于3,求k的最大整数值.
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【题目】已知:如图一,抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点,与y轴交于点C,直线y=x-2经过A、C两点,且AB=2.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线DE平行于x轴并从C点开始以每秒1个单位的速度沿y轴正方向平移,且分别交y轴、线段BC于点E,D,同时动点P从点B出发,沿BO方向以每秒2个单位速度运动,(如图2);当点P运动到原点O时,直线DE与点P都停止运动,连DP,若点P运动时间为t秒;设s=,当t为何值时,s有最小值,并求出最小值.
(3)在(2)的条件下,是否存在t的值,使以P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似;若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图:在数轴上A点表示数a,B点示数b,C点表示数c,b是最小的正整数,且a,b满足 +(c-7)2=0.
(1) a= ,b= ,c= .
(2) 若将数轴折叠,使得A点与C点重合,则点B与数 表示的点重合.
(3) 点A,B,C开始在数轴上运动,若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动,假设t秒钟过后,若点A与点B之间的距离表示为AB,点A与点C之间的距离表示为AC,点B与点C之间的距离表示为BC.则AB= ,AC= ,BC= .(用含t的代数式表示)
(4) 请问:3BC-2AB的值是否随着时间t的变化而改变? 若变化,请说明理由;若不变,请求其值.
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【题目】检修小组从A地出发,在东西路上检修线路,若规定向东行驶的路程为正数,向西行驶的路程为负数,一天中行驶记录(单位;千米)如下:
(1)收工时检修小组在A地的哪侧,距A地多远?
(2)若每千米耗油0.3升,从出发到收工共耗油多少升?
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【题目】如图,一次函数y= x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,点C与点A关于y轴对称.动点P、Q分别在线段AC、AB上(点P与点A、C不重合),且满足∠BPQ=∠BAO。
(1)求点A、 B的坐标及线段BC的长度;
(2)当点P在什么位置时,△APQ≌△CBP,说明理由;
(3)当△PQB为等腰三角形时,求点P的坐标.
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【题目】某公司准备投资开发A、B两种新产品,通过市场调研发现:如果单独投资A种产品,则所获利润yA(万元)与投资金额x(万元)之间满足正比例函数关系:yA=kx;如果单独投资B种产品,则所获利润yB(万元)与投资金额x(万元)之间满足二次函数关系:yB=ax2+bx.根据公司信息部的报告,yA、yB(万元)与投资金额x(万元)的部分对应值(如下表)
(1)求正比例函数和二次函数的解析式;
(2)如果公司准备投资20万元同时开发A、B两种新产品,请你设计一个能获得最大利润的投资方案,并求出按此方案能获得的最大利润是多少万元?
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【题目】如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E,F分别是边BC,AD的中点,AB=2,BC=4,一动点P从点B出发,沿着B﹣A﹣D﹣C在矩形的边上运动,运动到点C停止,点M为图1中某一定点,设点P运动的路程为x,△BPM的面积为y,表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示.则点M的位置可能是图1中的( )
A. 点CB. 点OC. 点ED. 点F
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【题目】问题:探究一次函数y=kx+k+2(k是不为0常数)图象的共性特点,探究过程:小明尝试把x=-1代入时,发现可以消去k,竟然求出了y=2.老师问:结合一次函数图象,这说明了什么?小组讨论得出:无论k取何值,一次函数y=kx+k+2的图象一定经过定点(-1,2),老师:如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线,那么我们把像这样的一次函数的图象定义为“点旋转直线”.已知一次函数y=(k+3)x+(k-1)的图象是“点旋转直线”
(1)一次函数y=(k+3)x+(k-1)的图象经过的定点P的坐标是__________.
(2)已知一次函数y=(k+3)x+(k-1)的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B
①若△OBP的面积为3,求k值;
②若△AOB的面积为1,求k值.
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