Question

16．如图，已知△ABC为等腰三角形，点O是底边BC上中点，腰AB与⊙O相切于点D．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）当∠C=45°，⊙O的半径为1时，求图中阴影部分的面积；
（3）设⊙O与BC的交点为G、H，若BG×BH=12，求DB的长．

Answer 1

分析 （1）过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，根据等腰三角形的性质，证得AO平分∠BAC，根据角平分线的性质，即可证得OD=OE，即可证明AC是切线；
（2）根据阴影部分的面积=△ABC的面积-△OBD的面积-△OCE的面积-扇形DOE的面积，计算即可；
（3）根据切割线定理即可得到结论．

解答 （1）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OCE中，∠C=45°，OE=1，
∴OC=$\frac{1}{sin45°}$，
∵△ABC是等腰三角形，∠C=45°，
∴BC=2OC=2$\sqrt{2}$，OA=OC=$\sqrt{2}$，
∵OE⊥AC，∠C=45°，
∴∠EOC=45°，
同理，∠DOB=45°，
∴∠DOE=90°，
∴S_阴影=S_△ABC-S_△BDO-S_△ECO-S_扇形DOE
=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}×$1×1-$\frac{90π×1}{360}$
=1-$\frac{1}{4}$π；
（3）∵AB与⊙O相切于点D，
∴BD²=BG•BH=12，
∴BD=2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了切线的性质和判断、等腰三角形的性质、扇形的面积公式的综合运用．熟练掌握证明切线的方法是解决此类问题的关键，证明切线的方法：连半径，证垂直；作垂直，正半径．