Question

4．如图．反比例函数y=$\frac{k}{x}$在第一象限内的图象上有点A、B，已知点A（3m．m）、点B（n，n+1）（其中m＞0，n＞0）．
OA=2$\sqrt{10}$．
（1）求A、B点的坐标及反比例函数解析式；
（2）如果M为x轴上一点，N为坐标平面内一点，以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，请直接写出符合条件的M、N点的坐标，并画出相应的矩形．

Answer 1

分析 （1）如图1，作辅助线，构建直角△AOC，利用勾股定理求出m的值，写出点A的坐标，由此求出反比例函数的解析式，再求点B的坐标；
（2）有两种情况：过A、B分别作AB的垂线，得到两个矩形，作辅助线，构建直角三角形，证明△ADB≌△M₂EN₂和△BGM₂≌△N₂FA，求出OM₂、OM₁的长，并根据线段的长写出坐标，注意象限的符号问题．

解答 解：（1）如图1，过A作AC⊥x轴于C，
∵点A（3m．m）、且A在第一象限，
∴AC=m，OC=3m，
∵OA=2$\sqrt{10}$，
由勾股定理得：${m}^{2}+（3m）^{2}=（2\sqrt{10}）^{2}$，
m=±2，
∵m＞0，
∴m=2，
∴A（6，2），
∴k=6×2=12，
∴反比例函数解析式为：y=$\frac{12}{x}$；
∵点B（n，n+1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴n（n+1）=12，
n²+n-12=0，
（n+4）（n-3）=0，
n=-4或3，
∵n＞0，
∴n=3，
∴B（3，4）；
（2）如图2，过N₂作EF∥x轴，过A作DF⊥x轴，过M₂作M₂E⊥x轴，过B作BD∥x轴，分别交于E、F、D、G四点，
∵A（6，2），B（3，4），
∴AD=4-2=2，BD=6-3=3，
∵四边形ABM₂N₂是矩形，
∴∠M₂BA=∠M₂N₂A=∠BAN₂=90°，AB=M₂N₂，
∴∠M₂N₂E+∠AN₂F=90°，∠N₂AF+∠AN₂F=90°，
∴∠M₂N₂E=∠N₂AF，
同理得：∠M₂N₂E=∠ABD，
∵∠M₂EN₂=∠BDA=90°，
∴△ADB≌△M₂EN₂，
∴M₂E=AD=2，N₂E=BD=3，
同理△BGM₂≌△N₂FA，
∴M₂G=AF=4，BG=FN₂，
∵∠M₂GB=∠ADB=90°，∠GM₂B=∠ABD，
∴△BDA∽△M₂GB，
∴$\frac{BD}{{M}_{2}G}$=$\frac{AD}{BG}$，
∴$\frac{3}{4}=\frac{2}{BG}$，
∴BG=$\frac{8}{3}$，
∴GH=OM₂=BH-BG=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$，
∴M₂（$\frac{1}{3}$，0），N₂（3+$\frac{1}{3}$=$\frac{10}{3}$，-2），
∵AP=PF=2，
∴P是AF的中点，
∴PM₁△AFN₂的中位线，
∴M₁P=$\frac{1}{2}F{N}_{2}$=$\frac{1}{2}$BG=$\frac{1}{2}$×$\frac{8}{3}$=$\frac{4}{3}$，
∴OM₁=OP-M₁P=6-$\frac{4}{3}$=$\frac{14}{3}$，
∴M₁（$\frac{14}{3}$，0），
∵△M₂N₂M₁≌△M₁N₁M₂，
∴N₁（$\frac{14}{3}$-3，2）即N₁（$\frac{5}{3}$，2）．
综上所述，M₁（$\frac{14}{3}$，0），N₁（$\frac{5}{3}$，2）或M₂（$\frac{1}{3}$，0），N₂（$\frac{10}{3}$，-2）．

点评 本题考查了矩形的性质和判定、利用待定系数法求反比例函数的解析式，利用三角形全等和相似求出对应的线段的长，同时还采用了分类讨论的思想，要证明两三角形相似和全等时，运用了同角的余角相等证明两个角相等，这在图形有直角的几何题中经常运用，要熟练掌握．