Question

13．如图，抛物线y=-x²-2x+3与x轴交于A，B两点，与x轴交于C点，直线y=$\frac{1}{2}$x+m交x轴于M，交y轴于N，将△MON沿直线MN折叠，得到△MPN，若点P恰好落在第一象限的抛物线上，求点P的坐标及m的值．

Answer 1

分析 如图连接OP交MN于K．先求出直线OP的解析式为y=-2x，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}x+m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2m}{5}}\\{y=\frac{4m}{5}}\end{array}\right.$，得到点K坐标（-$\frac{2m}{5}$，$\frac{4m}{5}$），因为O、P关于点K对称，推出点P坐标（-$\frac{4m}{5}$，$\frac{8m}{5}$），利用待定系数法即可求出m以及点P坐标．

解答 解：如图连接OP交MN于K．

∵OP⊥MN，直线MN的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+m
∴直线OP的解析式为y=-2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}x+m}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2m}{5}}\\{y=\frac{4m}{5}}\end{array}\right.$，
∴点K坐标（-$\frac{2m}{5}$，$\frac{4m}{5}$），
O、P关于点K对称，
∴点P坐标（-$\frac{4m}{5}$，$\frac{8m}{5}$），
∵点P在抛物线上，
∴$\frac{8m}{5}$=-（-$\frac{4m}{5}$）²+$\frac{8m}{5}$+3，
∴m=±$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，
∴当m=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$时，点P坐标（-$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），当m=-$\frac{5\sqrt{3}}{4}$时，点P坐标（$\sqrt{3}$，-2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数的应用、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．