【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A的坐标为(a,0)(其中a>0),作AB∥y轴交反比例函数(k>0,x>0)的图象于点B.
(1)当△OAB的面积为2时,①求k的值;②若a=2,过A点作AC∥OB交(k>0,x>0)图象于点C,求C的横坐标;
(2)若D为射线AB上一点,连接OD交反比例函数图象于点E,DF∥x轴交反比例函数(k>0,x>0)的图象于点F,连接EF、EB,试猜想:的值是否随a的变化而变化?如果不变,求出的值;如果变化,请说明理由.
【答案】(1)①4;②点C横坐标为;(2) 不变,比值为1.
【解析】(1)①由B(a,),得到OA=a,AB=, 由S△OAB=·AB·OA=2,即可得到结论;
②过点C作CD⊥AO于点D,得到B(2,2),设AD=b,则C(2+b,),可证△OAB∽△ADC,得到,即,解方程得到b的值,从而得到点C的横坐标.
(2)不变,比值为1.设,则yOE=,由S△DBE= ,S△DEF=,代入 化简即可得到结论.
(1)①∵B(a,),∴OA=a,AB=, ∴S△OAB=·AB·OA=2,∴k=4;
②过点C作CD⊥AO于点D.
∵a=2,∴B(2,2),
设AD=b,∴C(2+b,).
∵AC∥OB,∴∠BOA=∠CAD.
∵∠BAO=∠CDA,∴△OAB∽△ADC,
∴,∴,∴b=,解得:b=-1+(负值舍去),∴点C的横坐标=2-1+=.
(2)不变,比值为1.理由如下:
设yOE=∴.
∵S△DBE= ,S△DEF=
∴=∴=1.
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【题目】如图,已知△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线,交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:BD=CD;(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
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【题目】某景区商店以2元的批发价进了一批纪念品.经调查发现,每个定价3元,每天可以能卖出500件,而且定价每上涨0.1元,其销售量将减少10件.根据规定:纪念品售价不能超过批发价的2.5倍.
(1)当每个纪念品定价为3.5元时,商店每天能卖出________件;
(2)如果商店要实现每天800元的销售利润,那该如何定价?
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【题目】甲、乙两人同时从相距25千米的A地去B地,甲骑摩托车,乙骑自行车,甲的速度是乙的速度的3倍,甲到达B地后停留了30分钟,然后从B地返回A地,在途中遇见了乙,此时距他们出发的时间刚好是1小时,则甲的速度是( )
A. 20千米/小时 B. 60千米/小时
C. 25千米/小时 D. 75千米小时
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【题目】为发展校园足球运动,某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备,市场调查发现:甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球,已知每套队服比每个足球多50元,两套队服与三个足球的费用相等,经洽谈,甲商场优惠方案是:每购买十套队服,送一个足球;乙商场优惠方案是:若购买队服超过80套,则购买足球打八折.
(1)求每套队服和每个足球的价格是多少?
(2)若城区四校联合购买100套队服和a个足球,请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用;
(3)假如你是本次购买任务的负责人,你认为到哪家商场购买比较合算?
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0)和B(3,0)两点,与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点E,点D为顶点,连接BD、CD、BC.
(1)求证△BCD是直角三角形;
(2)点P为线段BD上一点,若∠PCO+∠CDB=180°,求点P的坐标;
(3)点M为抛物线上一点,作MN⊥CD,交直线CD于点N,若∠CMN=∠BDE,请直接写出所有符合条件的点M的坐标.
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【题目】如图所示,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)若AD=5,BD=12,求DE的长.
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【题目】如图:在等腰直角三角形中,AB=AC,点D是斜边BC上的中点,点E、F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF。(1)若设,,满足.
(1)求BE及CF的长。
(2)求证:。
(3)在(1)的条件下,求△DEF的面积。
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