【题目】如图,抛物线y=﹣(x﹣1)2+c与x轴交于A,B(A,B分别在y轴的左右两侧)两点,与y轴的正半轴交于点C,顶点为D,已知A(﹣1,0).
(1)求点B,C的坐标;
(2)判断△CDB的形状并说明理由;
(3)将△COB沿x轴向右平移t个单位长度(0<t<3)得到△QPE.△QPE与△CDB重叠部分(如图中阴影部分)面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.
【答案】
(1)
解:∵点A(﹣1,0)在抛物线y=﹣(x﹣1)2+c上,
∴0=﹣(﹣1﹣1)2+c,得c=4,
∴抛物线解析式为:y=﹣(x﹣1)2+4,
令x=0,得y=3,∴C(0,3);
令y=0,得x=﹣1或x=3,∴B(3,0).
(2)
解:△CDB为直角三角形.理由如下:
由抛物线解析式,得顶点D的坐标为(1,4).
如答图1所示,过点D作DM⊥x轴于点M,则OM=1,DM=4,BM=OB﹣OM=2.
过点C作CN⊥DM于点N,则CN=1,DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1.
在Rt△OBC中,由勾股定理得:BC= = = ;
在Rt△CND中,由勾股定理得:CD= = = ;
在Rt△BMD中,由勾股定理得:BD= = = .
∵BC2+CD2=BD2,
∴△CDB为直角三角形(勾股定理的逆定理).
(3)
解:设直线BC的解析式为y=kx+b,∵B(3,0),C(0,3),
∴ ,
解得k=﹣1,b=3,
∴y=﹣x+3,
直线QE是直线BC向右平移t个单位得到,
∴直线QE的解析式为:y=﹣(x﹣t)+3=﹣x+3+t;
设直线BD的解析式为y=mx+n,∵B(3,0),D(1,4),
∴ ,
解得:m=﹣2,n=6,
∴y=﹣2x+6.
连接CQ并延长,射线CQ交BD于点G,则G( ,3).
在△COB向右平移的过程中:
(I)当0<t≤ 时,如答图2所示:
设PQ与BC交于点K,可得QK=CQ=t,PB=PK=3﹣t.
设QE与BD的交点为F,则: ,解得 ,∴F(3﹣t,2t).
S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE= PEPQ﹣ PBPK﹣ BEyF= ×3×3﹣ (3﹣t)2﹣ t2t= t2+3t;
(II)当 <t<3时,如答图3所示:
设PQ分别与BC、BD交于点K、点J.
∵CQ=t,
∴KQ=t,PK=PB=3﹣t.
直线BD解析式为y=﹣2x+6,令x=t,得y=6﹣2t,
∴J(t,6﹣2t).
S=S△PBJ﹣S△PBK= PBPJ﹣ PBPK= (3﹣t)(6﹣2t)﹣ (3﹣t)2= t2﹣3t+ .
综上所述,S与t的函数关系式为:
S= .
【解析】(1)首先用待定系数法求出抛物线的解析式,然后进一步确定点B,C的坐标;(2)分别求出△CDB三边的长度,利用勾股定理的逆定理判定△CDB为直角三角形;(3)△COB沿x轴向右平移过程中,分两个阶段:(I)当0<t≤ 时,如答图2所示,此时重叠部分为一个四边形;(II)当 <t<3时,如答图3所示,此时重叠部分为一个三角形.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函数y= x的图象如图所示,则方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的两根之和( )
A.大于0
B.等于0
C.小于0
D.不能确定
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【题目】如图,六边形ABCDEF是正六边形,曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”,其中弧FK1 , 弧K1K2 , 弧K2K3 , 弧K3K4 , 弧K4K5 , 弧K5K6 , …的圆心依次按点A,B,C,D,E,F循环,其弧长分别记为L1 , L2 , L3 , L4 , L5 , L6 , ….当AB=1时,L2016等于( )
A.
B.
C.
D. .
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,已知四边形DOBC是矩形,且D(0,4),B(6,0).若反比例函数y= (x>0)的图象经过线段OC的中点A,交DC于点E,交BC于点F.设直线EF的解析式为y=k2x+b.
(1)求反比例函数和直线EF的解析式;
(2)求△OEF的面积;
(3)请结合图象直接写出不等式k2x+b﹣ >0的解集.
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【题目】某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动,将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图:
请根据所给信息解答以下问题:
(1)请补全条形统计图;
(2)若全校有2000名同学,请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人?
(3)在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D,随机地摸出一个小球然后放回,再随机地摸出一个小球,请用列表或画树形图的方法,求出恰好两次都摸到“A”的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为
A(﹣1,1),B(﹣3,1),C(﹣1,4).
①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1;
②将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2 , 请在图中画出△A2BC2 , 并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积(结果保留π).
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【题目】点O在直线AB上,点A1、A2、A3 , …在射线OA上,点B1、B2、B3 , …在射线OB上,图中的每一个实线段和虚线段的长均为一个单位长度,一个动点M从O点出发,按如图所示的箭头方向沿着实线段和以O为圆心的半圆匀速运动,速度为每秒1个单位长度,按此规律,则动点M到达A101点处所需时间为秒.
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