【题目】已知关于x的一元二次方程x2+2x+=0有两个不相等的实数根,k为正整数.
(1)求k的值;
(2)当此方程有一根为零时,直线y=x+2与关于x的二次函数y=x2+2x+的图象交于A、B两点,若M是线段AB上的一个动点,过点M作MN⊥x轴,交二次函数的图象于点N,求线段MN的最大值及此时点M的坐标;
(3)将(2)中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分保持不变,翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象,若直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点,求b的值.
【答案】(1)k为1,2;
(2)M的坐标为(-,);
(3)b=1或b=.
【解析】
试题分析:(1)先根据一元二次方程根的情况利用判别式与0的关系可以求出k的值;
(2)利用m先表示出M与N的坐标,再根据两点间的距离公式表示出MN的长度,根据二次函数的极值即可求出MN的最大长度和M的坐标;
(3)根据图象的特点,分两种情况讨论,分别求出b的值即可.
试题解析:(1)∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根.
∴.
∴k﹣1<2.
∴k<3.
∵k为正整数,
∴k为1,2.
(2)把x=0代入方程得k=1,此时二次函数为y=x2+2x,
此时直线y=x+2与二次函数y=x2+2x的交点为A(﹣2,0),B(1,3)
由题意可设M(m,m+2),其中﹣2<m<1,则N(m,m2+2m),
MN=m+2﹣(m2+2m)=﹣m2﹣m+2=﹣.
∴当m=﹣时,MN的长度最大值为.
此时点M的坐标为(,).
(3)当y=x+b过点A时,直线与新图象有3个公共点(如图2所示),
把A(﹣2,0)代入y=x+b得b=1,
当y=x+b与新图象的封闭部分有一个公共点时,直线与新图象有3个公共点.
由于新图象的封闭部分与原图象的封闭部分关于x轴对称,所以其解析式为y=﹣x2﹣2x
∴有一组解,此时有两个相等的实数根,
则所以b=,综上所述b=1或b=.
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【题目】如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O,且将
这个四边形分成①、②、③、④四个三角形.若OA:OC-=0B:OD,
则下列结论中一定正确的是 ( )
A. ①与②相似 B. ①与③相似
C. ①与④相似 D. ②与④相似
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【题目】一次函数y=2x+2与反比例函数y=(k≠0)的图象都过点A(1,m),y=2x+2的图象与x轴交于B点.
(1)求点B的坐标及反比例函数的表达式;
(2)C(0,﹣2)是y轴上一点,若四边形ABCD是平行四边形,直接写出点D的坐标,并判断D点是否在此反比例函数的图象上,并说明理由.
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【题目】如图1所示,在正方形ABCD和正方形CGEF中,点B、C、G在同一条直线上,M是线段AE的中点,DM的延长线交EF于点N,连接FM,易证:DM=FM,DM⊥FM(无需写证明过程)
(1)如图2,当点B、C、F在同一条直线上,DM的延长线交EG于点N,其余条件不变,试探究线段DM与FM有怎样的关系?请写出猜想,并给予证明;
(2)如图3,当点E、B、C在同一条直线上,DM的延长线交CE的延长线于点N,其余条件不变,探究线段DM与FM有怎样的关系?请直接写出猜想.
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