Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E是BC上的两点，且∠DAE=45°．将△AEC绕着点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接DF．
（1）请猜想DF与DE之间有何数量关系？
（2）证明你猜想的结论．

Answer 1

（1）解：猜想：DF=DE；

（2）证明：∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°．
∵将△AEC绕着点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，
∴AF=AE，∠FAB=∠EAC，
∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=45°=∠DAE．
在△ADF和△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE（SAS），
∴DF=DE．
分析：（1）猜想：DF=DE．
（2）△AEC绕点A顺时针90°旋转后，得到△AFB，根据旋转的性质得到∠FAE=90°，EC=BF，AE=AF，而∠DAE=45°，得到∠DAF=90°-45°=45°，根据SAS证出△ADF≌△ADE，则DF=DE．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质．