Question

9．三角形ABO在平面直角坐标系上如图放置，已知点A（0，10），点B在x轴上，点C在OB上，且AO+OC=AB+BC，BC=2．
（1）求点C的坐标．
（2）过点C作直线L，将三角形ABO的面积两等分，求直线L的解析式．

Answer 1

分析 （1）设点C的坐标为（x，0），可得OA=10，OB=x+2，AB=8+x，根据勾股定理可得关于x的方程，解之可得；
（2）设直线L与y轴的交点为D，根据S_△COD=$\frac{1}{2}$S_△AOB可得OD的长，即可知点D的坐标，继而待定系数法可求得直线L的解析式．

解答 解：（1）设点C的坐标为（x，0）
∵点A（0，10），点B在x轴上，点C在OB上，且AO+OC=AB+BC，BC=2，
∴OA=10，OB=x+2，AB=8+x，
∴10²+（x+2）²=（8+x）²，
解得，x=$\frac{10}{3}$，
即点C的坐标是（$\frac{10}{3}$，0）；

（2）设直线L与y轴的交点为D，如图所示，

∵OA=10，OB=$\frac{10}{3}+2=\frac{16}{3}$，OC=$\frac{10}{3}$，过点C作直线L，将三角形ABO的面积两等分，
∴$\frac{OC•OD}{2}=\frac{1}{2}×\frac{OB•OA}{2}$，
即$\frac{\frac{10}{3}×OD}{2}=\frac{1}{2}×\frac{\frac{16}{3}×10}{2}$，
解得，OD=8，
则点D（0，8），
设过点C（$\frac{10}{3}$，0）、点D（0，8）的直线L的解析式为：y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{10}{3}k+b=0}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{12}{5}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
即直线L的解析式是y=$-\frac{12}{5}x+8$．

点评 本题主要考查勾股定理和待定系数法求一次函数解析式，根据两三角形面积间关系求得点D的坐标是解题的关键．